14440: Difference between revisions

Revision as of 10:29, 6 October 2024

14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)
Se consideră numărul natural $A=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+.....+a_{2012}^{2}$ unde $a_{1},a_{2},a_{3},.....,a_{2012}$ sunt numere prime, mai mari sau egale cu 5. Arătați că $B=2\cdot A+2013$ nu este pătrat perfect.

Soluție:

Dacă $a_{i}$ , cu $i\in \{1,2,3,\ldots ,2012\}$ , este număr prim mai mare decât $5$ , atunci $a_{i}^{2}\equiv M8+1$ , pentru orice $i\in \{1,2,3,\ldots ,2012\}$ . Prin urmare, $B=2\cdot \left({\mathcal {M}}8+2012\right)+2013={\mathcal {M}}8+6037={\mathcal {M}}8+5$ , care nu este pătrat perfect.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)'''
 <br />
-<br />
+''Se consideră numărul natural <math> A=a_1^2+a_2^2+a_3^2+.....+a_{2012}^2 </math> unde <math>a_1,a_2,a_3,.....,a_{2012}</math> sunt numere prime, mai mari sau egale cu 5. Arătați că <math>B=2 \cdot A + 2013 </math> nu este pătrat perfect.''
-''Se consideră numărul natural <math> A=a_1^2+a_2^2+a_3^2+.....+a_{2012}^2 </math> unde <math>a_1,a_2,a_3,.....,a_{2012}</math> sunt numere prime, mai mari sau egale cu 5.
-Arătați că <math>B=2 \cdot A + 2013 </math> nu este pătrat perfect.
-<br />
 <br />
 '''Soluție:'''
-Dacă <math>a_i</math>, cu <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>, este număr prim mai mare decât 5, atunci <math>a_i^2 \equiv M8 + 1</math>, pentru orice <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>. Prin urmare, <math>B = 2 \cdot \left(\mathcal{M}8 + 2012\right) + 2013 = \mathcal{M}8 + 6037 = \mathcal{M}8 + 5</math>, care nu este pătrat perfect.<br />
+Dacă <math>a_i</math>, cu <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>, este număr prim mai mare decât <math>5</math>, atunci <math>a_i^2 \equiv M8 + 1</math>, pentru orice <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>. Prin urmare, <math>B = 2 \cdot \left(\mathcal{M}8 + 2012\right) + 2013 = \mathcal{M}8 + 6037 = \mathcal{M}8 + 5</math>, care nu este pătrat perfect.<br />
-<br />