1715 - Inversiuni

Ludwig are o permutare p=(p[1],p[2],...,p[N]) a mulțimii {1,2,..,N} și o masă pe care putea așeza numerele din permutare. Ludwig ia primul număr din permutare, adică p[1], și îl așează pe masă. Al doilea număr, p[2], îl pune fie în stânga lui p[1], fie în dreapta lui p[1]. La fiecare pas, dacă s-au așezat pe masă deja numerele p[1], p[2], …, p[i], atunci numărul p[i+1] este pus fie în stânga numerelor deja așezate, fie în dreapta lor.

Cerința

Ajutați-l pe Ludwig să determine o modalitate de așezare a întregii permutări pe masă astfel încât în final să se obțină o nouă permutare care are un număr minim de inversiuni.

Date de intrare

Fișierul de intrare inversiuniIN.txt conține pe prima linie numărul natural N, iar pe linia a doua, separate prin câte un spațiu, numerele p[1], p[2], …, p[N].

Date de ieșire

Fișierul de ieșire inversiuniOUT.txt va conține un singur număr natural reprezentând numărul minim de inversiuni care se pot obține. În cazul în care restricțiile nu sunt îndeplinite, se va afișa mesajul "Datele nu corespund restrictiilor impuse".

Restricții și precizări

• 1 ≤ N ≤ 200 000
• O inversiune în permutare este o pereche de indici (i,j) cu i<j și p[i]>p[j]. De exemplu, permutarea p=(3,2,1,4) are ca inversiune perechea de indici (1,3) pentru că p[1]>p[3]; o altă inversiune este perechea de indici (2,3) pentru că p[2]>p[3].

Exemplul 1:

inversiuniIN.txt

4
2 1 3 4

inversiuniOUT.txt

0

Explicație

Se așează elementele pe masă astfel:

• 2
• 1 2 (1 este așezat la stânga)
• 1 2 3 (3 este așezat la dreapta)
• 1 2 3 4 (4 este așezat la dreapta)

Se obține permutarea identică, adică zero inversiuni.

Exemplul 2:

inversiuniIN.txt

0
2 1 3 4

inversiuniOUT.txt

Datele nu corespund restrictiilor impuse

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line="1"> import sys

def verifica_restrictii(n):

   if not (1 <= n <= 200000):
       with open("inversiuniOUT.txt", "w") as fout:
           fout.write("Datele nu corespund restrictiilor impuse\n")
       sys.exit()

def update(a, n, x):

   i = x
   while i <= n:
       a[i] += 1
       i += (i & -i)

def query(a, x):

   s = 0
   i = x
   while i > 0:
       s += a[i]
       i -= (i & -i)
   return s

def main():

   with open("inversiuniIN.txt", "r") as fin:
       n = int(fin.readline().strip())
       verifica_restrictii(n)
       a = [0] * (n + 1)
       cnt = 0
       perm = list(map(int, fin.readline().strip().split()))
       for i in range(1, n + 1):
           x = perm[i - 1]
           mici = query(a, x)
           mari = i - mici - 1
           if mici < mari:
               cnt += mici
           else:
               cnt += mari
           update(a, n, x)

   with open("inversiuniOUT.txt", "w") as fout:
       fout.write(f"{cnt}\n")

if __name__ == "__main__":

   main()

</syntaxhighlight>