3785 - AI

Al Bundy a plecat la serviciu, lăsându-i soţiei lui, Peg, cardul de cumpărături. PIN-ul este valoarea expresiei E(n)=∑nk=1(2⋅(a2+b2)k2⋅cos(k⋅α)), unde α=arctg(ab) , iar n, a, b sunt numere naturale nenule.

Cerința

Să se afle valoarea expresiei E(n), modulo 1.000.000.007.

Date de intrare

Fișierul de intrare alin.txt conține pe prima linie numerele n, a, b, separate prin spațiu.

Date de ieșire

Fișierul de ieșire alout.txt va conține pe prima linie valoarea expresiei E(n), modulo 1.000.000.007.

Restricții și precizări

• 1 ≤ n ≤ 10(12)
• 1 ≤ a , b ≤ 20

Exemplul 1

alin.txt

3 5 12

alout.txt

1918

Exemplul 2

alin.txt

10 5 8

alout.txt

765450729

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line>

1. 3785 - AI

import math

def calculate_expression(n, a, b):

   alpha = math.atan(a * b)
   result = 0

   for k in range(1, n + 1):
       term = (2 * (a**2 + b**2) * k**2 * math.cos(k * alpha)) % 1000000007
       result = (result + term) % 1000000007

   return result

def verificare_restrictii(n, a, b):

   if 1 <= n <=  10**12
      1 <= a, b <= 20:   
       return True
   else:
       return False

if __name__ == "__main__":

   with open("alin.txt", "r") as input_file, open("alout.txt", "w") as output_file:
       n, a, b = map(int, input_file.readline().split())
       result = calculate_expression(n, a, b)
       output_file.write(str(result) + "\n")

</syntaxhighlight>

Explicatie

Dacă α=arctg(5/12), atunci sin(α)=5/13 şi cos(α)=12/13. Avem E(3)=2⋅13⋅cos(α)+2⋅13*2⋅cos(2α)+2⋅13*3⋅cos(3α)=2⋅13⋅12/13+2⋅13*2⋅(2⋅cos2(α)−1)+2⋅13*3⋅(4⋅cos*3(α)−3⋅cos(α))=24+238+1656=1918.