E:14331: Difference between revisions

Revision as of 07:40, 16 January 2024

E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul $n^{4}+n^{2}+3$ nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.

Soluție.

Avem $n^{4}+n^{2}+3=n^{2}(n^{2}+1)+3$ . Deoarece $n^{2}$ și $n^{2}+1$ sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci $n^{4}+n^{2}+3$ este număr impar. Presupunem că există două numere prime, $a$ și $b$ astfel încât $n^{4}+n^{2}+3=a+b.$ Din cele de mai sus unul dintre numere $a$ și $b$ trebuie să fie $2$ .

Alegem $a=2.$ Atunci,

n^{4}+n^{2}+3=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1).

Cum

(n^{2}-n+1)

și

(n^{2}+n+1)

sunt mai mari ca

1

în condițiile date, rezultă

b

nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

@@ Line 8: / Line 8: @@
 <br />
-''Avem ''<math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>.'' Deoarece'' <math>n^2</math> ''și'' <math>n^2 + 1</math>'' sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci ''<math> n^4 + n^2 + 3</math> ''este număr impar. Presupunem că există două numere prime,''<math>a</math>'' și ''<math>b</math> ''astfel încât ''<math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>''Din cele de mai sus unul dintre numere ''<math>a </math> ''și ''<math>b </math> ''trebuie să fie ''<math>2</math>. ''Alegem ''<math>a =2.</math>''Atunci, '' <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>''Cum ''<math>(n^2 - n + 1)</math> ''și'' <math>(n^2 + n + 1)</math> ''sunt mai mari ca ''<math>1</math> ''în condițiile date, rezultă'' <math>
+Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci <math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime, <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math> Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a </math> și <math>b </math> trebuie să fie <math>2</math>.
-b</math> ''nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.''
+Alegem <math>a =2.</math> Atunci,  <math display="block"> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari ca <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
+b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.