E:14331: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' | '''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)''' | ||
<br /> | <br /> | ||
''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.'' | ''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.'' | ||
<br /> | <br /> | ||
'''Soluție.''' | '''Soluție.''' | ||
<br /> | <br /> | ||
Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math> | Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math> | ||
b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă. | b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă. | ||
Revision as of 20:36, 27 December 2023
E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)
Fie un număr natural. Arătați că numărul nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.
Soluție.
Avem . Deoarece și sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci este număr impar. Presupunem că există două numere prime, și astfel încât Din cele de mai sus unul dintre numere și trebuie să fie. Alegem Atunci, Cum și sunt mai mari în condițiile date, rezultă nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.
