E:16379: Difference between revisions

Latest revision as of 13:03, 30 December 2023

E:16379 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflaţi numărul natural ${\overline {ab}}$ , cu cifre distincte, pentru care $({\overline {ab}}-{\overline {ba}}):(a-b)={\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015.$

Soluție:

Egalitatea din enunţ se mai scrie ${\overline {ab}}-{\overline {ba}}=(a-b)\cdot ({\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015).$ Prin descompunerea numerelor ${\overline {ab}}$ şi ${\overline {ba}}$ în baza $10$ , obţinem

9(a-b)=(a-b)\cdot ({\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015).

Cum

a-b\neq 0,

egalitatea devine

{\overline {bb}}\cdot {\overline {ba}}-2015=9,

adică

11\cdot b\cdot {\overline {ba}}=2024.

Rezultă în continuare că

b\cdot {\overline {ba}}=184,

egalitate adevărată doar pentru

b=4

şi

a=6.

Aşadar,

{\overline {ab}}=64.

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție:'''
-Egalitatea din enunţ se mai scrie <math>\overline{ab} - \overline{ba} = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math> Descompunând <math>\overline{ab}</math> şi <math>\overline{ba}</math> în sistemul zecimal şi efectuând câteva calcule, obţinem: <math>9(a - b) = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math>
+Egalitatea din enunţ se mai scrie <math>\overline{ab} - \overline{ba} = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math> Prin descompunerea numerelor <math>\overline{ab}</math> şi <math>\overline{ba}</math> în baza <math>10</math>, obţinem<math display="block">9(a - b) = (a - b) \cdot (\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015).</math>Cum <math>a - b \ne 0,</math> egalitatea devine <math>\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015 = 9,</math> adică <math>11 \cdot b \cdot \overline{ba} = 2024.</math> Rezultă în continuare că <math>b \cdot \overline{ba} = 184,</math> egalitate adevărată doar pentru <math>b = 4</math> şi <math>a = 6.</math> Aşadar, <math display="block">\overline{ab} = 64.</math>
-Cum <math>a - b \ne 0,</math> egalitatea devine <math>\overline{bb} \cdot \overline{ba} - 2015 = 9,</math> adică <math>11 \cdot b \cdot \overline{ba} = 2024.</math> Rezultă în continuare că <math>b \cdot \overline{ba} = 184,</math> egalitate adevărată doar pentru <math>b = 4</math> şi <math>a = 6.</math> Aşadar, <math>\overline{ab} = 64.</math>