15698: Difference between revisions

Revision as of 08:27, 19 December 2023

E:15698 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Determinați numerele naturale $a$ , $b$ , $c$ pentru care

\left(2020a\right)^{2}+\left(2021b\right)^{2}=2022c^{2}

Soluție: Vom folosi proprietatea:

dacă suma pătratelor a două numere naturale este divizibilă cu $3$ , atunci fiecare număr este divizibil cu 3.

Această proprietate reiese din faptul că, dacă $n\in \mathbb {N}$ nu este divizibil cu $3$ , atunci $n^{2}={\mathcal {M}}_{3}+1$ .

Aici, deoarece $2022$ este divizibil cu $3$ , iar $2021$ și $2020$ nu sunt divizibile cu $3$ , reiese că $3|a$ și $3|b$ . Dacă $a\neq 0$ sau $b\neq 0$ , atunci există a = 3a₁ și b = 3b₁, cu a₁b₁ ϵ ℕ, iar a₁ < a sau b₁ < b. Rezultă 9 ${\bigl (}{\bigl (}$ 2020a₁ ${\bigr )}$ ² + ${\bigl (}$ 2021b₁ ${\bigr )}$ ² = 2022c², ceea ce implică c = 3c_1, cu c₁ ϵ ℕ. Relația devine ${\bigl (}$ 2020a₁ ${\bigr )}$ ² + ${\bigl (}$ 2021b₁ ${\bigr )}$ ² = 2022c₁², ceea ce, ca mai sus, duce la a₁ = 3a₂, b₁ = 3b₂, c₁ = 3c₂, cu a₂, b₂, c₂ ϵ ℕ, iar a₂ < a₁ sau b₂ < b₁. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a₁ > a₂ > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b₁ > b₂ > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.

Rămâne soluția a = b = c = 0.

Observație. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă metoda coborârii infinite.

@@ Line 8: / Line 8: @@
 Această proprietate reiese din faptul că, dacă <math>n\in\mathbb{N}</math> nu este divizibil cu <math>3</math>, atunci <math>n^2 = \mathcal{M}_3+1</math>.
-Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu 3, reiese că 3 ا a și 3 ا b. Dacă a ≠ 0 sau b ≠ 0, atunci a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.
+Aici, deoarece <math>2022</math> este divizibil cu <math>3</math>, iar <math>2021</math> și <math>2020</math> nu sunt divizibile cu <math>3</math>, reiese că <math>3 | a</math> și  <math>3 | b</math>. Dacă <math>a \ne 0</math> sau <math>b\ne 0</math>, atunci există a = 3a<sub>1</sub> și b = 3b<sub>1</sub>, cu a<sub>1</sub>b<sub>1</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>1</sub> < a sau b<sub>1</sub> < b. Rezultă 9 <math>\bigl(\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sup>2</sup>, ceea ce implică c = 3c<sub>1,</sub> cu c<sub>1</sub> ϵ ℕ. Relația devine <math>\bigl(</math>2020a<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> + <math>\bigl(</math>2021b<sub>1</sub><math>\bigr)</math><sup>2</sup> = 2022c<sub>1</sub><sup>2</sup>, ceea ce, ca mai sus, duce la a<sub>1</sub> = 3a<sub>2</sub>, b<sub>1</sub> = 3b<sub>2</sub>, c<sub>1</sub> = 3c<sub>2</sub>, cu a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, c<sub>2</sub> ϵ ℕ, iar a<sub>2</sub> < a<sub>1</sub> sau b<sub>2</sub> < b<sub>1</sub>. Repetând raționamentul obținem un șir nesfârșit de numere naturale a > a<sub>1</sub> > a<sub>2</sub> > . . . sau un șir nesfârșit de numere naturale b > b<sub>1</sub> > b<sub>2</sub> > . . . - imposibil. Astfel, presupunerea a ≠ 0 sau b ≠ 0 este falsă.
 Rămâne soluția a = b = c = 0.
 ''Observație''. Ideea folosită în rezolvarea de mai sus pentru a arăta că a = b= 0 reprezintă ''metoda coborârii infinite.''