28203: Difference between revisions

Revision as of 11:59, 17 December 2023

28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)

Fie $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$ , pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

Dați exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
Dați exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$ . Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$ , pentru orice $x\geq 0$ , atunci $f$ este surjectivă.

Soluție: Considerând funcția $g:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,g(x)=f(x)-e^{x}$ , relația din enunț are forma echivalentă $g(g(x))=x$ , pentru orice $x\in \mathbb {R} ,(1).$

a) Alegem $g(x)=-x$ care verifică (1), și obținem $f(x)=e^{x}-x$ , care nu este monotonă,, întrucât $f'(x)=e^{x}-1$ își schimbă semnul pe $\mathbb {R}$ .

b) Alegem $g(x)={\begin{cases}x,&x\in \mathbb {Q} \\-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$ , care verifică (1) și obținem

$f(x)=e^{x}+g(x)={\begin{cases}e^{x},&x\in \mathbb {Q} \\e^{x}-x,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \end{cases}}$ . Deoarece $f$ este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din $\mathbb {R} \ast$ ), rezultă că $f$ este discontinuă.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28203 (Dana Heuberger, Baia Mare)'''
-''Fie'' <math>
+''Fie <math> f:  \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R} </math> o funcție cu proprietatea
-</math>''
-''a) Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> P</math>  care nu este monotonă.''
+<math>\mathcal{P}: f(f(x)-e^x)=e^{f(x)-e^x} + x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}.</math>
-''b) Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> P</math>  care nu este continuă.''
+<ol type="a"><li> Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este monotonă. </li>
+<li>  Dați exemplu de funcție cu proprietatea <math> \mathcal{P}</math>  care nu este continuă.</li>
-''c) Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> P</math> . Arătați că, dacă f(x)''
+<li>  Fie f o funcție care admite primitive și are proprietatea <math> \mathcal{P}</math> . Arătați că, dacă <math>f(x)\ge e^x</math>, pentru orice <math>x\ge 0</math>, atunci <math>f</math> este surjectivă.</li></ol>''
 '''Soluție:'''
+Considerând funcția <math>g: \mathbb{R} \longrightarrow  \mathbb{R}, g(x) = f(x) - e^x </math>, relația din enunț are forma echivalentă <math>g(g(x)) = x</math>, pentru orice <math>x\in \mathbb{R}, (1).</math>
+a) Alegem <math>g(x)=-x</math> care verifică (1), și obținem <math>f(x)=e^x-x</math>, care nu este monotonă,, întrucât  <math>f'(x)=e^x-1</math> își schimbă semnul pe <math> \mathbb{R}</math>.
+b) Alegem <math> g(x) = \begin{cases} x,  & x\in \mathbb{Q} \\-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>, care verifică (1) și obținem
+<math>f(x)= e^x + g(x) = \begin{cases} e^x,  & x\in \mathbb{Q} \\e^x-x, & x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{cases} </math>. Deoarece <math>f</math> este suma dintre o funcție continuă și alta discontinuă (în orice punct din <math>\mathbb{R}\ast</math> ), rezultă că <math>f</math> este discontinuă.