28354: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
Line 25: Line 25:
b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math>  și  <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.
b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math>  și  <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.


Se observă că  semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O S}</math>.
Se observă că  semidreptele <math>(OR</math> și <math>(OS</math> sunt bisectoarele unghiurilor <math>COD</math>, respectiv <math>AOD</math>. Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O S}</math>.


Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math>  și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.
Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math>  și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>. Notând cu <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>, <math>JN</math> și <math>KP</math>, <math>KP</math> și <math>LQ</math>, <math>LQ</math> și <math>IM</math>, din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.

Revision as of 13:18, 4 December 2023

28354 (Florin Bojor)

Fie punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex și punctele , , și situate pe segmentele , , , respectiv , astfel încât . Notăm cu ,, și mijloacele segmentelor , , , respectiv și cu ,, și mijloacele segmentelor , , , respectiv . Arătați că:

  • a) punctele , și sunt coliniare dacă și numai dacă .
  • b) , punctele de intersecție ale dreptelor ,, și sunt vărfurile unui dreptunghi.

  • Soluție. a)Fie și versorii și ai vectorilor , respectiv .

    Deoarece și sunt mijloacele segmentelor , respectiv , obținem:

    . (1)

    Cum este mijloxul segemntului ,deducem:


    (2)

    Din (1) și (2) rezultă ca , și sunt coliniare dacă și numai dacă .

    b) Notăm și .

    Se observă că semidreptele și sunt bisectoarele unghiurilor , respectiv . Ca în (1),deducem că ,iar .

    Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că , , și .Dar , deci , și sunt necoliniare ,așadar , și analog . Notând cu , , , intersecțiile perechilor de drepte și , și , și , și , din cele de mai înaite rezultă că este dreptunghi.