28354: Difference between revisions

Revision as of 13:15, 4 December 2023

28354 (Florin Bojor)

Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex $ABCD$ și punctele $E$ , $F$ , $G$ și $H$ situate pe segmentele $OA$ , $OB$ , $OC$ , respectiv $OD$ , astfel încât $AE=BF=CG=DH$ . Notăm cu $I$ , $J$ , $K$ și $L$ mijloacele segmentelor $AB$ , $BC$ , $CD$ , respectiv $DA$ și cu $M$ , $N$ , $P$ și $Q$ mijloacele segmentelor $EF$ , $FG$ , $GH$ , respectiv $HE$ . Arătați că:

a) punctele $I$ , $M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$ .

b) $AC\not =BD$ , punctele de intersecție ale dreptelor $IM$ , $NJ$ , $PK$ și $LQ$ sunt vărfurile unui dreptunghi.

Soluție. a)Fie $AE=BF=CG=x$ și versorii ${\overrightarrow {i}}$ și ${\overrightarrow {j}}$ ai vectorilor ${\overrightarrow {AC}}$ , respectiv ${\overrightarrow {BD}}$ .
Deoarece $I$ și $M$ sunt mijloacele segmentelor $AB$ , respectiv $EF$ , obținem:
${\overrightarrow {IM}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AE}}+{\overrightarrow {BF}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$ . (1)
Cum $K$ este mijloxul segemntului $CD$ ,deducem:

${\overrightarrow {IK}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {BD}})={\frac {AC}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {BD}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$ (2)
Din (1) și (2) rezultă ca $I$ , $M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$ .
b) Notăm ${\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OR}}$ și ${\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OS}}$ .
Se observă că semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că ${\overrightarrow {PK}}={\overrightarrow {IM}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OR}}$ ,iar ${\overrightarrow {JN}}={\overrightarrow {QL}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OS}}$ .
Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că $IM\perp JN$ , $JN\perp KP$ , $KP\perp LQ$ și $LQ\perp IM$ .Dar $AC\not =BD$ , deci $I$ , $M$ și $K<math>M$ sunt necoliniare ,așadar $IM\parallel KP$ , și analog $JN\parallel LQ$ .Notând cu $X$ , $Y$ , $Z$ , $W$ intersecțiile perechilor de drepte $IM$ și $JN$ , $JN$ și $KP$ , $KP$ și $LQ$ , $LQ$ și $IM$ ,din cele de mai înaite rezultă că $XYZW$ este dreptunghi.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28354 (Florin Bojor)'''
-''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
+''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math> ,<math>F</math> ,<math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>,<math>J</math>,<math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>,<math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
 <math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
 <li><i> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.
@@ Line 8: / Line 8: @@
 '''Soluție.'''
-a)Fie <math>AE = BF = CG = x</math> și versorii <math>\overrightarrow{i}</math> și <math>\overrightarrow{j}</math> a vectorilor <math>\overrightarrow{A C}</math> respectiv <math>\overrightarrow{B D}</math>.
+a)Fie <math>AE = BF = CG = x</math> și versorii <math>\overrightarrow{i}</math> și <math>\overrightarrow{j}</math> ai vectorilor <math>\overrightarrow{A C}</math>, respectiv <math>\overrightarrow{B D}</math>.
-Deoarece <math>I</math> și <math>M</math> sunt mijloacele segmentelor <math>AB</math>, respectiv <math>EF</math>,obținem:
+Deoarece <math>I</math> și <math>M</math> sunt mijloacele segmentelor <math>AB</math>, respectiv <math>EF</math>, obținem:
 <math>\overrightarrow{I M} = \frac{{1}}{2} \cdot (\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{B F}) =\frac{{x}}{2} \cdot
@@ Line 21: / Line 21: @@
   \overrightarrow{i} + \frac{{BD}}{2} \cdot  \overrightarrow{j} </math> (2)
-Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>,<math>M</math> și<math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.
+Din (1) și (2) rezultă ca <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC = BD</math>.
-b)Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math>  și  <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.
+b) Notăm <math>\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O R}</math>  și  <math>\overrightarrow{-i} +\overrightarrow{j} = \overrightarrow{O S}</math>.
 Se observă că  semidreptele (OR și OS sunt bisectoarele unghiurilor COD,respectiv AOD.Ca în (1),deducem că <math>\overrightarrow{P K} =\overrightarrow{I M} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O R}</math>,iar <math>\overrightarrow{J N} =\overrightarrow{Q L} =  \frac{{x}}{2} \cdot (\overrightarrow{-i}+\overrightarrow{j}) =\frac{{x}}{2} \cdot  \overrightarrow{O S}</math>.
-Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare,semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math>  și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.
+Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare ,de unde rezultă că <math>IM \perp JN</math>,<math>JN \perp KP</math> , <math>KP \perp LQ</math>  și <math>LQ \perp IM</math>.Dar <math>AC \not= BD</math> , deci <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K<math>M</math> sunt necoliniare ,așadar <math>IM \parallel KP</math> , și analog <math>JN \parallel LQ</math>.Notând cu <math>X</math>,<math>Y</math>,<math>Z</math>,<math>W</math> intersecțiile perechilor de drepte <math>IM</math> și <math>JN</math>,<math>JN</math> și <math>KP</math>,<math>KP</math> și <math>LQ</math>,<math>LQ</math> și <math>IM</math> ,din cele de mai înaite rezultă că <math>XYZW</math> este dreptunghi.