28437: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
Line 1: Line 1:
'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
'''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
</br></br>
</br></br>
'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math>
'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math>
</br></br>
</br></br>
'''Soluție:'''
'''Soluție:'''

Revision as of 14:18, 11 November 2023

28437 (Nicolae Mușuroaia)

Fie șirul cu termenii strict pozitivi, dat de relația Determinați

Soluție:
Pentru orice avem , deci . Rezultă că pentru orice are loc


Deoarece pentru orice deducem că șirul este strict crescător.
Dacă șirul este mărginit superior, atunci este convergent cu Trecând la limită în relația (1), obținem de unde , absurd! Prin urmare, șirul este crescător și nemărginit superior, deci .
Atunci deoarece din rezultă că