28437: Diferență între versiuni
De la Universitas MediaWiki
Fără descriere a modificării |
Fără descriere a modificării |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''28437 (Nicolae Mușuroaia)''' | '''28437 (Nicolae Mușuroaia)''' | ||
</br></br> | </br></br> | ||
'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math> | '' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math> | ||
</br></br> | </br></br> | ||
'''Soluție:''' | '''Soluție:''' | ||
</br> | </br> | ||
Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) | Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = \ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) | ||
</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc | </math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc | ||
</br> | </br> | ||
<math display = "block">a_{n+1}=ln(e^{a_n} + a_n).</math> | <math display = "block">a_{n+1}=\ln(e^{a_n} + a_n).</math> | ||
</br> | </br> | ||
Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = ln(e^{a_n} + a_n) - ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător. | Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = \ln(e^{a_n} + a_n) - \ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător. | ||
</br> | </br> | ||
Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>. | Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = \ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>. | ||
</br> | </br> | ||
Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math> | Atunci <math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0</math> |
Versiunea de la data 8 noiembrie 2023 19:32
28437 (Nicolae Mușuroaia)
Fie șirul cu termenii strict pozitivi, dat de relația Determinați
Soluție:
Pentru orice avem , deci . Rezultă că pentru orice are loc
Deoarece pentru orice deducem că șirul este strict crescător.
Dacă șirul este mărginit superior, atunci este convergent cu Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). } Trecând la limită în relația (1), obținem Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a = \ln(e^{a_n} + a)} de unde Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a = 0 } , absurd! Prin urmare, șirul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ((a_n)_{n \geq 1}} este crescător și nemărginit superior, deci Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty} .
Atunci Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1} deoarece din Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty } rezultă că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0}