28437: Difference between revisions

Revision as of 17:07, 8 November 2023

28437 (Nicolae Mușuroaia)

Fie șirul $(a_{n})_{n\geq 1}$ cu termenii strict pozitivi, dat de relația $a_{n+1}=ln(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}),n\geq 1.$ Determinați $\lim _{n\to \infty }({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1)\cdot e^{a_{n}}.$

Soluție:
Pentru orice ${n\geq 2}$ avem $a_{n}=ln(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$ , deci $a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}=e^{a_{n}}$ . Rezultă că pentru orice ${n\geq 2}$ are loc

a_{n+1}=ln(e^{a_{n}}+a_{n}).

Deoarece

a_{n+1}-a_{n}=ln(e^{a_{n}}+a_{n})-ln(e^{a_{n}}\geq 0)

pentru orice

{n\geq 2}

deducem că șirul

(a_{n})_{n\geq 2}

este strict crescător.
Dacă șirul

(a_{n})_{n\geq 2}

este mărginit superior, atunci

(a_{n})_{n\geq 2}

este convergent cu

\lim _{n\to \infty }(a_{n})=a\in (0,\infty ).

Trecând la limită în relația (1), obținem

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
+</br></br>
+'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math>
+</br></br>
+'''Soluție:'''
 </br>
-'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> a_{n+1} </math>
+Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
+</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc
+</br>
+<math display = "block">a_{n+1}=ln(e^{a_n} + a_n).</math>
+</br>
+Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = ln(e^{a_n} + a_n) - ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.
+</br>
+Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem