28437: Diferență între versiuni
De la Universitas MediaWiki
Fără descriere a modificării |
Fără descriere a modificării |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''28437 (Nicolae Mușuroaia)''' | '''28437 (Nicolae Mușuroaia)''' | ||
</br></br> | |||
'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1) \cdot e^{a_n}. </math> | |||
</br></br> | |||
'''Soluție:''' | |||
</br> | </br> | ||
Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) | |||
</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc | |||
</br> | |||
<math display = "block">a_{n+1}=ln(e^{a_n} + a_n).</math> | |||
</br> | |||
Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = ln(e^{a_n} + a_n) - ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător. | |||
</br> | |||
Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem |
Versiunea de la data 8 noiembrie 2023 17:07
28437 (Nicolae Mușuroaia)
Fie șirul cu termenii strict pozitivi, dat de relația Determinați
Soluție:
Pentru orice avem , deci . Rezultă că pentru orice are loc
Deoarece pentru orice deducem că șirul este strict crescător.
Dacă șirul este mărginit superior, atunci este convergent cu Trecând la limită în relația (1), obținem