28450: Difference between revisions

Revision as of 11:46, 27 October 2023

28450 (Nicolae Mușuroia)

Fie $n\in$ ℕ, $n\geq 4$ și $p\in \{1,2,...,[n/2]\}.$ Considerăm mulțimile disjuncte $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ și $B=\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}$ , formate din primii $n$ termeni a două progresii aritmetice $(a_{k})_{k\geq 1}$ și $(b_{k})_{k\geq 1}$ cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice $n+p+1$ elemente distincte ale mulțimii $A\cup B$ există două a căror sumă este egală cu $a_{2p}+b_{p}.$

Soluție:

Fie $r\in$ ${\displaystyle \mathbb {R^{*}} }$ rația primei progresii. Observăm că $a_{2p}+b_{p}=a_{1}+b_{1}+p\cdot r=a_{p+1}+b_{1}=a_{p+2}+b_{2}=...=a_{n}+b_{n-p}.$ (1) Presupunem că putem alege $n+p+1$ , elemente distincte ale lui $A\cup B$ , astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de $a_{2p}+b_{p}.$ Din (1) deducem că printre aceste $n+p+1$ elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile $\{a_{p+1},b_{1}\},\{a_{p+2},b_{2}\},...,\{a_{n},b_{n-p}\}$ . Cum $2n-(n-p)=n+p<n+p+1$ , rezultă că printre cele $n+p+1$ numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție:'''
-Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1)
+Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1) Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste  <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \},  \{ a_{p+2}, b_{2} \},...,  \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.
-Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste  <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \},  \{ a_{p+2}, b_{2} \},...,  \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.