|
|
Linia 8: |
Linia 8: |
| Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui | | Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui |
|
| |
|
| <math display="block"> P(X) = \left(X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \lfloor 1/4 \rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right)</math> | | <math display="block"> P(X) = \left(X + \frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(X(1+X) + \lfloor 1/4 \rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k (! - X)^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right)</math> |
|
| |
|
| Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte, | | Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte, |
Versiunea de la data 18 octombrie 2023 17:45
27020 (Gheorghe Szöllösy)
Să se calculeze suma
Soluție:
Fie
coeficientul lui
din rezolvarea lui
![{\displaystyle P(X)=\left(X+{\frac {1}{2}}\right)^{2n}=\left(X(1+X)+\lfloor 1/4\rfloor \right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}(!-X)^{(n-k)}\left({\frac {1}{4^{k}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b18d326fba9e85dfc72eb99bff2ff0c115df9f)
Avem
, iar pe de altă parte,
![{\displaystyle a_{n}=C_{n}^{0}\cdot C_{n}^{0}+C_{n}^{1}\cdot C_{(}n-1)^{1}\left.{\frac {1}{4}}\right.+C_{n}^{2}\cdot C_{(}n-2)^{1}\left.{\frac {1}{4^{2}}}\right.+...=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a1fc68738185155e6b10629b1addd74391000a)
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}C_{n}^{k}C_{(}n-k)^{k}\cdot \left.{\frac {1}{4^{k}}}\right.=n!\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {1}{(k!)^{2}(n-k)!4^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac5d0ecba2690d6656a531d95a88b925c623ad5)
deci suma este egală cu