27020: Diferență între versiuni
De la Universitas MediaWiki
Fără descriere a modificării |
Fără descriere a modificării |
||
Linia 8: | Linia 8: | ||
Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui | Fie <math> a_n </math> coeficientul lui <math> X^n </math> din rezolvarea lui | ||
<math display="block"> P(X) = \left(X + \left | <math display="block"> P(X) = \left(X + \left.\frac{1}{2}\right\right.)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).</math> | ||
Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte, | Avem <math> a_n = \left(\frac{1}{2^n}\right) C_2n^n </math>, iar pe de altă parte, | ||
<math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right. | <math display="block"> a_n = C_n^0 \cdot C_n^0 + C_n^1 \cdot C_(n-1)^1 \left.\frac{1}{4}\right. | ||
+ C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math> | + C_n^2 \cdot C_(n-2)^1\left.\frac{1}{4^2}\right. + ... = </math> | ||
<math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left | <math display="block"> = \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} C_n^k C_(n-k)^k \cdot \left.\frac{1}{4^k}\right. = n! \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{1}{(k!)^2 (n-k)! 4^k},</math> | ||
deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math> | deci suma este egală cu <math> \left.\frac{(2n!}{2^n(n!)^3}\right. .</math> |
Versiunea de la data 18 octombrie 2023 17:41
27020 (Gheorghe Szöllösy)
Să se calculeze suma
Soluție:
Fie coeficientul lui din rezolvarea lui
Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle P(X) = \left(X + \left.\frac{1}{2}\right\right.)^{2n} = \left(X(1+X) + \left\lfloor\frac{1}{4}\right\rfloor\right)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k X^{(n-k)} \left(\frac{1}{4^k}\right).}
Avem , iar pe de altă parte,
deci suma este egală cu