2015-12-4: Difference between revisions

Revision as of 16:27, 2 September 2023

$Problema:$ Fie $K$ un corp cu $m\geq 2$ elemente si $f\in K[X]$ . Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

$(i)$ Exista $g\in K[X]$ astfel incat $f(X)=g(X^{m-1})$ ;

$(ii)$ Pentru orice $a\in K^{*}$ avem $f(X)=f(aX)$ .

$Solutie$

$(i)\rightarrow (ii)$ Din teorema lui Lagrange aplicata grupului $(K^{*},\cdot )$ avem ca $x^{m-1}=1,\forall x\in K^{*}$ , deci $f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)$ .

$(ii)\rightarrow (i)$

@@ Line 1: / Line 1: @@
 <math>Problema:</math> Fie <math>K</math> un corp cu <math>m \geq 2</math> elemente si <math>f \in K[X]</math>. Aratati ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
-(i) Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;
+<math>(i)</math> Exista <math>g \in K[X]</math> astfel incat <math>f(X)=g(X^{m-1})</math>;
-(ii) Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.
+<math>(ii)</math> Pentru orice <math>a \in K^*</math> avem <math>f(X)=f(aX)</math>.
 <math>Solutie</math>
 <math>(i) \rightarrow (ii)</math>
-Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1}=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.
+Din teorema lui Lagrange aplicata grupului <math>(K^*,\cdot)</math> avem ca <math>x^{m-1}=1, \forall x \in K^*</math>, deci <math>f(aX)=g((aX)^{m-1})=g(a^{m-1}X^{m-1})=g(X^{m-1})=f(X)</math>.
+<math>(ii) \rightarrow (i)</math>