E:16893: Difference between revisions

Revision as of 13:12, 20 September 2025

E:16893 (Traian Covaciu)

Arătați că numerele $7n-1$ și $17n-1$ sunt simultan prime doar dacă $n$ este un multiplu natural al lui $6$ .

Soluție

Pentru $n=6$ se obțin numerele prime $42$ și $101$ .

Dacă $n$ este impar, atunci numerele $7n-1$ și $17n-1$ sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că $2|\,n$ .

Dacă există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $n=3k+1$ , atunci numărul $7n-1$ nu este prim, căci $7n-1=7\left(3k+1\right)-1=3\left(7k+2\right)\vdots \,3$

Dacă există $k\in \mathbb {N}$ astfel încât $n=3k+2$ , atunci numărul $17n-1$ nu este prim, căci $<math>17n-1=17\left(3k+2\right)-1=3\left(17k+11\right)\vdots \,3.$

Cum $n$ trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui $3$ , deducem că $6|\,n$ .

Observație. Perechi  $\left(7n-1,17n-1\right)$  formate din numere prime se obține pentru  $n=6$ ,  $n=60$ ,  $n=120$ ,  $n=300$ .

@@ Line 13: / Line 13: @@
 Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci  <math><math>17n-1 = 17\left(3k+2\right)-1 = 3\left(17k+11\right) \vdots \, 3. </math>
-Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 |\, n<math>.
+Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 |\, n</math>.
   Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>.