E:16899: Difference between revisions

Revision as of 15:15, 19 August 2025

E:16899 (Angela Lopată)

Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$ . Considerăm punctele $M$ , $N$ pe laturile $\left(BC\right)$ , respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM=CN$ . Fie punctul $P$ astfel încât $NM=MP$ , punctele $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$ , iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$ . Arătaţi că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA} .

Soluție.

Din ${\begin{cases}PM=MN\\PP_{1}=MM_{1}\\\sphericalangle P_{1}=\sphericalangle M_{1}=90^{\circ }\end{cases}}$ , conform cazului de congruenţă C.I., rezultă $\Delta PP_{1}M\equiv \Delta MM_{1}N$ , deci $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$ .

Din ${\begin{cases}PM=MN\\MB=NC\\\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC\end{cases}}$ , conform cazului de congruenţă L.U.L., rezultă $\Delta PMB\equiv \Delta MNC$ , deci $\sphericalangle PBC=\sphericalangle MCN$ .

Cum punctele $B$ , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} și $C$ sunt colinare, avem

\sphericalangle BMP+\sphericalangle PMN+\sphericalangle NMC=180^{\circ }.

În triunghiul $\Delta CMN$ avem

\sphericalangle CNM+\sphericalangle NMC+\sphericalangle MCN=180^{\circ }.

Din cele două egalități și $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$ se deduce $\sphericalangle PMN=\sphericalangle MCN$ .

În concluzie, are loc egalitatea

\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA.

.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''[[E:16899]] (Angela Lopată)'''
-''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math>N</math> și <math>P</math> sunt de aceeași parte a dreptei <math>BC</math>, iar distanţa de la punctul <math>P</math> la dreapta <math>BC</math> este aceeași cu distanţa de la punctul <math>M</math> la dreapta <math>AC</math>. Arătaţi că <math>\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA</math>.''
+''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. Considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math>N</math> și <math>P</math> sunt de aceeași parte a dreptei <math>BC</math>, iar distanţa de la punctul <math>P</math> la dreapta <math>BC</math> este aceeași cu distanţa de la punctul <math>M</math> la dreapta <math>AC</math>. Arătaţi că <math>\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA</math>.''
-'''Soluție'''
+'''Soluție.'''
 [[File:16898.png|center|thumb]]