14440: Difference between revisions
mNo edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
'''14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)''' | '''E:14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)''' | ||
''Se consideră numărul natural <math> A=a_1^2+a_2^2+a_3^2+.....+a_{2012}^2 </math> unde <math>a_1,a_2,a_3,.....,a_{2012}</math> sunt numere prime, mai mari sau egale cu 5. Arătați că <math>B=2 \cdot A + 2013 </math> nu este pătrat perfect.'' | ''Se consideră numărul natural <math> A=a_1^2+a_2^2+a_3^2+.....+a_{2012}^2 </math> unde <math>a_1,a_2,a_3,.....,a_{2012}</math> sunt numere prime, mai mari sau egale cu 5. Arătați că <math>B=2 \cdot A + 2013 </math> nu este pătrat perfect.'' | ||
'''Soluție:''' | '''Soluție:''' | ||
Dacă <math>a_i</math>, cu <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>, este număr prim mai mare decât <math>5</math>, atunci <math>a_i^2 \equiv M8 + 1</math>, pentru orice <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>. Prin urmare, <math>B = 2 \cdot \left(\mathcal{M}8 + 2012\right) + 2013 = \mathcal{M}8 + 6037 = \mathcal{M}8 + 5</math>, care nu este pătrat perfect.<br /> | Dacă <math>a_i</math>, cu <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>, este număr prim mai mare decât <math>5</math>, atunci <math>a_i^2 \equiv M8 + 1</math>, pentru orice <math>i \in \{1,2,3,\ldots,2012\}</math>. Prin urmare, <math>B = 2 \cdot \left(\mathcal{M}8 + 2012\right) + 2013 = \mathcal{M}8 + 6037 = \mathcal{M}8 + 5</math>, care nu este pătrat perfect.<br /> | ||
Latest revision as of 11:34, 2 November 2024
E:14440 (Vasile Ienuțaș și Radu Pop)
Se consideră numărul natural unde sunt numere prime, mai mari sau egale cu 5. Arătați că nu este pătrat perfect.
Soluție:
Dacă , cu , este număr prim mai mare decât , atunci , pentru orice . Prin urmare, , care nu este pătrat perfect.
