26927: Difference between revisions

Latest revision as of 08:30, 19 January 2025

26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)

Polinomul $f=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\in \mathbb {R} \left[X\right]$ are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea $b^{2}-4ac<ad-4a^{2}$ . Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.

Soluție.

Inegalitatea $b^{2}-4ac<ad-4a^{2}$ este echivalentă cu $\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4\cdot {\frac {c}{a}}<{\frac {d}{a}}-4$ , ceea ce este echivalent cu $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+4<2\left(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}\right)$ .

Presupunem prin absurd că $x_{1},x_{2},x_{3}>0$ . Dintre numerele $x_{1}-2$ , $x_{2}-2$ , $x_{3}-2$ , cel puțin două au același semn; fie acestea $x_{1}-2$ și $x_{2}-2$ . Atunci $\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)\geq 0$ , de unde $x_{3}\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)\geq 0$ . Cum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\geq 2x_{1}x_{2}$ și $x_{3}^{2}-4x_{3}+4\geq 0$ , prin însumarea celor trei relații obținem $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{3}\geq 2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$ , ceea ce duce la o contradicție.

Revision as of 08:29, 19 January 2025 view source Andrei.Horvat (talk \| contribs) 551 edits mNo edit summary Tag: Visual edit ← Older edit		Latest revision as of 08:30, 19 January 2025 view source Andrei.Horvat (talk \| contribs) 551 edits mNo edit summary
Line 7:		Line 7:
	Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)</math>.		Inegalitatea <math>b^2 - 4ac < ad - 4a^2</math> este echivalentă cu <math>\left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4\cdot \frac{c}{a}< \frac{d}{a} - 4</math>, ceea ce este echivalent cu <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2x_3+4 < 2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)</math>.

	Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2/<math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție.		Presupunem prin absurd că <math>x_1, x_2, x_3 > 0</math>. Dintre numerele <math>x_1 - 2</math>, <math>x_2 - 2</math>, <math>x_3 - 2</math>, cel puțin două au același semn; fie acestea <math>x_1 - 2</math> și <math>x_2 - 2</math>. Atunci <math>\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>, de unde <math>x_3\left(x_1 - 2\right)\left(x_2 - 2\right) \ge 0</math>. Cum <math>x_1^2 + x_2^2 \ge 2x_1x_2</math> și <math>x_3^2 - 4x_3 + 4 \ge 0</math>, prin însumarea celor trei relații obținem <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1x_2x_3 \ge 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3</math>, ceea ce duce la o contradicție.