E:14312: Difference between revisions

Revision as of 07:55, 16 January 2025

E:14312 (Iulian Bunu, Baia Mare)

Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei?

Soluție (Ana Iulia Ciupală, Lic. Teoretic "Johannes Honterus", Brașov):

Fie $a$ suma pe care o are Andrei. Atunci:

$a+50=y^{3}$ și $a-50=y^{2},$

de unde rezultă:

$a=y^{3}-50$ și $a=y^{2}+50.$

Egalăm cele două expresii:

$y^{3}-50=y^{2}+50$ Failed to parse (syntax error): {\displaystyle ⇒} $y^{3}-y^{2}=100.$

Scoatem factor comun:

$y^{2}(y-1)=100.$

Rezolvăm această ecuație pentru $y$ natural:

Dacă $y=1$ , atunci Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 1^2 * (1 - 1) = 0 ≠ 100} .
Dacă $y=2$ , atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^2 * (2 - 1) = 4 ≠ 100} .
Dacă $y=5$ , atunci $5^{2}*(5-1)=100$ . Acest caz este valid.

Așadar, suma lui Andrei este:

$a=y^{2}+50=5^{2}+50=75.$

Răspuns final: Suma lui Andrei este 75 lei.

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție (Ana Iulia Ciupală, Lic. Teoretic "Johannes Honterus", Brașov):'''
-<p>Fie <i>a</i> suma pe care o are Andrei. Atunci:</p> <div class="equations"> <p><i>a + 50 = y<sup>3</sup></i> și <i>a - 50 = y<sup>2</sup>,</i></p> <p>de unde rezultă:</p> <p><i>a = y<sup>3</sup> - 50</i> și <i>a = y<sup>2</sup> + 50.</i></p> </div> <p>Egalăm cele două expresii:</p> <div class="equations"> <p><i>y<sup>3</sup> - 50 = y<sup>2</sup> + 50</i> <i>⇒</i> <i>y<sup>3</sup> - y<sup>2</sup> = 100.</i></p> </div> <p>Scoatem factor comun:</p> <div class="equations"> <p><i>y<sup>2</sup> (y - 1) = 100.</i></p> </div> <p>Rezolvăm această ecuație pentru <i>y</i> natural:</p> <ul> <li>Dacă <i>y = 1</i>, atunci <i>1<sup>2</sup> * (1 - 1) = 0 ≠ 100</i>.</li> <li>Dacă <i>y = 2</i>, atunci <i>2<sup>2</sup> * (2 - 1) = 4 ≠ 100</i>.</li> <li>Dacă <i>y = 5</i>, atunci <i>5<sup>2</sup> * (5 - 1) = 100</i>. Acest caz este valid.</li> </ul> <p>Așadar, suma lui Andrei este:</p> <div class="equations"> <p><i>a = y<sup>2</sup> + 50 = 5<sup>2</sup> + 50 = 75.</i></p> </div>
+<p>Fie <math>a</math> suma pe care o are Andrei. Atunci:</p> <div class="equations"> <p><math>a + 50 = y^3</math> și <math>a - 50 = y^2,</math></p> <p>de unde rezultă:</p> <p><math>a = y^3 - 50</math> și <math>a = y^2 + 50.</math></p> </div> <p>Egalăm cele două expresii:</p> <div class="equations"> <p><math>y^3 - 50 = y^2 + 50</math> <math>⇒</math> <math>y^3 - y^2 = 100.</math></p> </div> <p>Scoatem factor comun:</p> <div class="equations"> <p><math>y^2 (y - 1) = 100.</math></p> </div> <p>Rezolvăm această ecuație pentru <math>y</math> natural:</p> <ul> <li>Dacă <math>y = 1</math>, atunci <math>1^2 * (1 - 1) = 0 ≠ 100</math>.</li> <li>Dacă <math>y = 2</math>, atunci <math>2^2 * (2 - 1) = 4 ≠ 100</math>.</li> <li>Dacă <math>y = 5</math>, atunci <math>5^2 * (5 - 1) = 100</math>. Acest caz este valid.</li> </ul> <p>Așadar, suma lui Andrei este:</p> <div class="equations"> <p><math>a = y^2 + 50 = 5^2 + 50 = 75.</math></p> </div>
 ''' Răspuns final: ''' ''Suma lui Andrei este 75 lei.''