15685: Difference between revisions

Latest revision as of 05:05, 12 December 2024

E:15685 (Cristina Vijdeliuc și Mihai Vijdeliuc)

Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$ , cu $\angle A\ =90^{\circ }$ și $\angle B\ =30^{\circ }$ . Punctul $D$ aparține laturii $BC$ astfel încât $AD\perp BC$ , punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ , iar punctul $E$ aparține laturii $AB$ astfel încât $ME\perp AB$ . Arătați că $DE\perp AM$ .

Soluție

Deoarece $AM$ este mediana în triunghiul dreptunghic $ABC$ avem $AM=BM=CM$ . Din $AM=BM$ rezultă că $\triangle AMB\$ este isoscel și, cum $ME\perp AB$ , $ME$ este bisectoarea unghiului $AMB$ . Cum $\angle B\ =30^{\circ }$ și $ME\perp AB$ obținem $\angle EMB\ =60^{\circ }$ , de unde $\angle AME\ =60^{\circ },(1)$ .

Pe de altă parte $\angle AMC\$ este unghi exterior triunghiului $AMB$ și atunci $\angle AMC\ =60^{\circ },(2)$ .

Din $(1)$ și $(2)$ deducem că $MA$ este bisectoarea unghiului $DME,(3)$ .

Din $AM=CM$ și $\angle AMC\ =60^{\circ }$ rezultă că $\triangle AMC\$ este echilateral și, cum $AD\perp BC$ , deducem că $D$ este mijlocul segmentului $CM$ , deci $DM={\frac {1}{2}}\cdot CM,(4)$ .

Din $\triangle BEM\$ este dreptunghic și $\angle B\ =30^{\circ }$ obținem $ME={\frac {1}{2}}\cdot BM,(5)$ .

Cum $CM=BM$ , din $(4)$ și $(5)$ rezultă $DM=EM$ , adică $\triangle DME\$ este isoscel. De aici și din $(3)$ rezultă $MA\perp DE$ .

@@ Line 4: / Line 4: @@
 '''Soluție'''
-Deoarece <math> AM </math> este mediana în triunghiul dreptunghic <math> ABC </math> avem <math> AM = BM = CM </math>. Din <math> AM = BM </math> rezultă că <math> \triangle AMB\ </math> este isoscel și, cum <math>ME \perp AB</math>, <math>ME</math> este bisectoarea unghiului <math> AMB </math>. Cum <math> \angle B\ = 30^\circ </math> și <math> ME \perp AB </math> obținem <math> \angle EMB\ = 60^\circ </math>, de unde <math> \angle AME\ = 60^\circ, (1) </math>. Pe de  altă parte <math> \angle AMC\ </math> este unghi exterior triunghiului <math> AMB </math> și atunci <math> \angle AMC\ = 60^\circ, (2) </math>. Din <math> (1) </math> și <math> (2) </math> deducem că <math> MA </math> este bisectoarea unghiului <math> DME, (3) </math>.
+Deoarece <math> AM </math> este mediana în triunghiul dreptunghic <math> ABC </math> avem <math> AM = BM = CM </math>. Din <math> AM = BM </math> rezultă că <math> \triangle AMB\ </math> este isoscel și, cum <math>ME \perp AB</math>, <math>ME</math> este bisectoarea unghiului <math> AMB </math>. Cum <math> \angle B\ = 30^\circ </math> și <math> ME \perp AB </math> obținem <math> \angle EMB\ = 60^\circ </math>, de unde <math> \angle AME\ = 60^\circ, (1) </math>.
+Pe de  altă parte <math> \angle AMC\ </math> este unghi exterior triunghiului <math> AMB </math> și atunci <math> \angle AMC\ = 60^\circ, (2) </math>.
+Din <math> (1) </math> și <math> (2) </math> deducem că <math> MA </math> este bisectoarea unghiului <math> DME, (3) </math>.
 [[File:Gm e-15685.png|left|thumb]]
-Din <math> AM = CM </math> și <math> \angle AMC\ = 60^\circ </math> rezultă că <math> \triangle AMC\ </math> este echilateral și, cum <math> AD \perp BC </math>, deducem că <math> D </math> este mijlocul segmentului <math> CM </math>, deci <math> DM = CM/2, (4) </math>. Din <math> \triangle BEM\ </math> este dreptunghic și  <math> \angle B\ = 30^\circ </math> obținem <math> ME = BM/2, (5) </math>. Cum <math> CM = BM </math>, din <math> (4) </math> și <math> (5) </math> rezultă <math> DM = EM </math>, adică <math> \triangle DME\ </math> este isoscel. De aici și din <math> (3) </math> rezultă <math> MA \perp DE </math>.
+Din <math> AM = CM </math> și <math> \angle AMC\ = 60^\circ </math> rezultă că <math> \triangle AMC\ </math> este echilateral și, cum <math> AD \perp BC </math>, deducem că <math> D </math> este mijlocul segmentului <math> CM </math>, deci <math> DM = \frac{1}{2}\cdot CM, (4) </math>.
+Din <math> \triangle BEM\ </math> este dreptunghic și  <math> \angle B\ = 30^\circ </math> obținem <math> ME = \frac{1}{2}\cdot BM,  (5) </math>.
+Cum <math> CM = BM </math>, din <math> (4) </math> și <math> (5) </math> rezultă <math> DM = EM </math>, adică <math> \triangle DME\ </math> este isoscel. De aici și din <math> (3) </math> rezultă <math> MA \perp DE </math>.