E:5756: Difference between revisions
Created page with "'''E:5756 (Dumitru Acu)''' ''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.''" |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.'' | ''Fie <math>ABCD</math> un romb. Prin vârful <math>A</math> ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe <math>BC</math> în <math>E</math>, pe <math>DC</math> în <math>F</math>, iar pe diagonala <math>BD</math> în <math>G</math>. Să se arate că dreapta <math>CG</math> este tangentă în <math>C</math> cercului circumscris triunghiului <math>ECF</math>.'' | ||
'''Soluție''' | |||
Din faptul că semidreapta <math>(DB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle ADC</math> și semidreapta <math>(GB</math> este bisectoarea unghiului <math>\sphericalangle AGC</math> se deduce că <math display="block" id="1e5756">\left[ AG \right] \equiv \left[ CG \right]</math> | |||
[[File:Gm 1-1977 e-5756.png|thumb|left]]În triunghiul <math>FGC</math>, aplicăm [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_bisectoarei Teorema bisectoarei], pentru bisectoarea <math>(GD</math> a unghiului <math>\sphericalangle FGC</math> și obținem<math display="block" id="2e5756">\frac{CD}{DF} = \frac{GC}{GF}</math>Cum patulaterul <math>ABCD</math> este un romb, avem <math>AB \parallel BC</math>, deci [https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Thales Teorema lui Thales] implică <math display="block" id="3e5756">\frac{CD}{DF}=\frac{EA}{AF}</math>Atunci avem | |||
Revision as of 05:03, 10 December 2024
E:5756 (Dumitru Acu)
Fie un romb. Prin vârful ducem o dreaptă arbitrară care intersectează pe în , pe în , iar pe diagonala în . Să se arate că dreapta este tangentă în cercului circumscris triunghiului .
Soluție
Din faptul că semidreapta este bisectoarea unghiului și semidreapta este bisectoarea unghiului se deduce că
![{\displaystyle \left[AG\right]\equiv \left[CG\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc9687c30dcc014ccc21012c4a0caceb469a5b7)
În triunghiul , aplicăm Teorema bisectoarei, pentru bisectoarea a unghiului și obținem
Cum patulaterul este un romb, avem , deci Teorema lui Thales implică
Atunci avem
