|
|
Line 8: |
Line 8: |
|
| |
|
|
| |
|
| Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac{\frac{\det(A)}{\det(B)}+1}{\frac{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>'' | | Dacă <math>x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}</math> sunt rădăcinile polinomului <math>f</math>, atunci din [https://ro.wikipedia.org/wiki/Formulele_lui_Vi%C3%A8te relațiile lui Viete] avem<math display="block">x_1x_2x_3 = - \frac{\det(A)}{\det(B)} = - \alpha.</math>Se obține <math>x_3 = -\alpha</math>, ceea ce implică<math display="block">f = \det(B) \cdot \left(X^2 + 1 \right) \cdot \left( X + \alpha \right).</math>Atunci<math display="block">f\left( 1 \right) = \det \left( A + B \right) = 2\left( \alpha +1 \right) \cdot \det(B)</math>și<math display="block">f\left( -1 \right) = \det \left( A - B \right) = 2\left( \alpha - 1 \right) \cdot \det(B).</math>Avem''<math display="block">\frac{\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)} = \frac{\alpha +1}{\alpha -1} = \frac{\dfrac{\det(A)}{\det(B)}+1}{\dfrac{\det(A)}{\det(B)}-1} = \frac{\det(A) + \det(B)}{\det(A)-\det(B)}. </math>'' |
Revision as of 08:42, 20 July 2024
S:L22.108. (Nicolae Mușuroia)
Fie cu , neinversabilă și , unde . Arătați că
Soluție.
Ipotezele și , cu , implică
Fie polinomul
. Atunci, există
pentru care
Cum
, avem
, deci
și
sunt rădăcini ale polinomului
.
Dacă sunt rădăcinile polinomului , atunci din relațiile lui Viete avem
Se obține
, ceea ce implică
Atunci
și
Avem