14683: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
 
(8 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 1: Line 1:
'''14683 (Răzvan Ceuca)'''
'''14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
 
'''Enunț:'''
 
Se consideră triunghiul ABC în care <math>m(\angle A) = 2 \cdot m(\angle B) + 30^\circ</math>. Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.
 
Dacă <math>m(\angle MAC) = 2 \cdot m(\angle MAB)</math>, arătați că BM = MC.
 


''Fie matricele <math>A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),</math> care verifică simultan condițiile:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
  <li><i><math>AB = BA;</math></i></li>
  <li><i>matricea <math>A</math> este nilpotentă și matricea <math>B</math> este inversabilă.<br>Arătați că ecuația <math>AX + XA = B</math> nu are soluții în <math>\mathcal{M}_3(\mathbb{C})</math>.</i></li>
</ol>


'''Soluție:'''
'''Soluție:'''


Relația din enunț se mai poate scrie <math>2^x - 2^y = 3^x - 3^y)</math>. Presupunem că x != y; atunci x < y sau x > y.
Notăm <math>a = m(\angle ABC)</math> și <math>x = m(\angle BAM)</math>. Avem <math>m(\angle BAC) = 2a + 30^\circ</math> și <math>m(\angle CAM) = 2x</math>, din ipoteză. Atunci <math>3x = 2a + 30^\circ</math> de unde <math>x = \frac{2a}{3} + 10^\circ</math>. Pe de altă parte avem <math>m = (\angle AMC) = a + x = \frac{5a}{3}+ 10^\circ</math> ca unghi exterior <math>\triangle AMB</math>. Cum AM = AC vom avea <math>m(\angle ACM) = \frac {5a}{3} + 10^\circ</math>. Acum în <math>\triangle ABC</math> avem <math>a + 2a + 30^\circ + \frac{5a}{3} + 10^\circ = 180^\circ</math>, de unde <math>a = 30^\circ</math>, apoi <math>x = 30^\circ</math> și <math>m(\angle AMC) = 60^\circ</math>. Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar <math>\triangle AMC</math>(1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.
 
Dacă x &gt; y atunci relația se scrie 2**y(2**x-y - 1) 3**y (3**x-y - 1), ceea ce este fals. Analog se procedează dacă x &lt; y. În concluzie x = y.

Latest revision as of 14:50, 16 January 2024

14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Enunț:

Se consideră triunghiul ABC în care . Punctul M este situat pe segmentul (BC) astfel încât AM = AC.

Dacă , arătați că BM = MC.


Soluție:

Notăm și . Avem și , din ipoteză. Atunci de unde . Pe de altă parte avem ca unghi exterior . Cum AM = AC vom avea . Acum în avem , de unde , apoi și . Rezultă acum că triunghiul ABM este isoscel, de unde BM = AM, iar (1) este echilateral AM = AC = CM,(2). Din (1) și (2) rezultă BM = MC.