26713: Difference between revisions

Latest revision as of 11:35, 2 November 2024

26713 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)

Se consideră șirul de numere reale $(x_{n})_{n\geq 0}$ și $(y_{n})_{n\geq 0}$ cu $x_{n}\geq 1$ , $y_{n}\geq 1$ , pentru orice $n\in \mathbb {N}$ , și $\lim _{n\to \infty }(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})=2$ . Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ și $\lim _{n\to \infty }y_{n}$ .

Soluție:

Avem $2\leq x_{n}-y_{n}\leq {\sqrt {2(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})}}$ și cum $\lim _{n\to \infty }{\sqrt {2(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})}}=2$ , rezultă că $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=2$ .

Cum $1\leq x_{n}\leq x_{n}+y_{n}-1$ și $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n}-1)=1$ , obținem $\lim _{n\to \infty }x_{n}=1$ . Analog, $\lim _{n\to \infty }y_{n}=1$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''28354 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)'''
+'''26713 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)'''
-<br />
-''<br />Se consideră șirul de numere reale <math>(x_n)_{n \geq 0}</math> și <math>(y_n)_{n \geq 0}</math> cu <math>x_n \geq 1</math>, <math>y_n \geq 1</math>, pentru orice <math>n \in \mathbb{N}</math>, și <math>\lim_{{n \to \infty}} (x_n^2 + y_n^2) = 2</math>. Să se calculeze <math>\lim_{{n \to \infty}} x_n</math> și <math>\lim_{{n \to \infty}} y_n</math>.''
+''Se consideră șirul de numere reale <math>(x_n)_{n \geq 0}</math> și <math>(y_n)_{n \geq 0}</math> cu <math>x_n \geq 1</math>, <math>y_n \geq 1</math>, pentru orice <math>n \in \mathbb{N}</math>, și <math>\lim_{{n \to \infty}} (x_n^2 + y_n^2) = 2</math>. Să se calculeze <math>\lim_{{n \to \infty}} x_n</math> și <math>\lim_{{n \to \infty}} y_n</math>.''
-<br />
 '''Soluție:'''
 <br />
 <br />
-Avem <math> 2 \leq x_n - y_n \leq \sqrt{2(x_n^2 + y_n^2)} </math> și cum <math> \lim_{{n \to \infty}} \sqrt{2(x_n^2 + y_n^2)} = 2 </math>, rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} (x_n + y_n) = 2 </math>. Cum <math> 1 \leq x_n \leq x_n + y_n - 1 </math> și <math> \lim_{{n \to \infty}} (x_n + y_n - 1) = 1 </math>, obținem <math> \lim_{{n \to \infty}} x_n = 1 </math>. Analog, <math> \lim_{{n \to \infty}} y_n = 1 </math>.
+Avem <math> 2 \leq x_n - y_n \leq \sqrt{2(x_n^2 + y_n^2)} </math> și cum <math> \lim_{{n \to \infty}} \sqrt{2(x_n^2 + y_n^2)} = 2 </math>, rezultă că <math> \lim_{{n \to \infty}} (x_n + y_n) = 2 </math>.
+Cum <math> 1 \leq x_n \leq x_n + y_n - 1 </math> și <math> \lim_{{n \to \infty}} (x_n + y_n - 1) = 1 </math>, obținem <math> \lim_{{n \to \infty}} x_n = 1 </math>. Analog, <math> \lim_{{n \to \infty}} y_n = 1 </math>.