S:E15.239: Difference between revisions

Latest revision as of 11:56, 7 January 2024

S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)

Într-un triunghi dreptunghic se notează cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} lungimile catetelor, cu $a$ lungimea ipotenuzei, cu $x$ și $y$ lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu $h$ lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.

a) Pentru $b=20$ cm și $c=15$ cm, calculați $a$ , $x$ , $y$ și $h$ .

b) Arătați că există o infinitate de triunghiuri dreptunghice pentru care toate valorile $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ și $h$ sunt numere naturale.

Soluție. a) În triunghiul dreptunghic cu catetele $b=20$ și $c=15$ avem ipotenuza $a=25$ , lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză sunt $x=16$ , respectiv $y=9$ , iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este $h=12$ , deci în acest triunghi toate valorile $a$ , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} sunt numere naturale.

b) Pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\in \mathbb{N}} , triunghiul dreptunghic cu catetele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=20k} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=15k} , are lungimea ipotenuzei Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = 25k} , lungimile proiecțiilor pe ipotenuză date de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=16k} , respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=9k} , iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h=12k} , deci în acest triunghi toate valorile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} sunt numere naturale. În concluzie, există o infinitate de astfel de triunghiuri.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''S:E15.239 (Andrei Horvat-Marc)'''
-''Într-un triunghi dreptunghic se notează cu <math>b</math> și <math>c</math> lungimile catetelor, cu <math>x</math> și <math>y</math> lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu <math>h</math> lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.''
+''Într-un triunghi dreptunghic se notează cu <math>b</math> și <math>c</math> lungimile catetelor, cu'' <math>a</math> ''lungimea ipotenuzei, cu <math>x</math> și <math>y</math> lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză, iar cu <math>h</math> lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei.''
 a) ''Pentru <math>b=20</math> cm și <math>c=15</math> cm, calculați <math>a</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math>.''
@@ Line 8: / Line 8: @@
 '''Soluție.'''
+a) În triunghiul dreptunghic cu catetele <math>b=20</math> și <math>c=15</math> avem ipotenuza <math>a = 25</math>, lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză sunt <math>x=16</math>, respectiv <math>y=9</math>, iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este <math>h=12</math>, deci în acest triunghi toate valorile <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math> sunt numere naturale.
+b) Pentru orice <math>k\in \mathbb{N}</math>, triunghiul dreptunghic cu catetele <math>b=20k</math> și <math>c=15k</math>, are lungimea ipotenuzei <math>a = 25k</math>, lungimile proiecțiilor pe ipotenuză date de <math>x=16k</math>, respectiv <math>y=9k</math>, iar lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este <math>h=12k</math>, deci în acest triunghi toate valorile <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>x</math>, <math>y</math> și <math>h</math> sunt numere naturale. În concluzie, există o infinitate de astfel de triunghiuri.