E:14331: Difference between revisions

Latest revision as of 11:41, 2 November 2024

E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul $n^{4}+n^{2}+3$ nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.

Soluție.

Avem $n^{4}+n^{2}+3=n^{2}(n^{2}+1)+3$ . Deoarece $n^{2}$ și $n^{2}+1$ sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci $n^{4}+n^{2}+3$ este număr impar. Presupunem că există două numere prime, $a$ și $b$ astfel încât $n^{4}+n^{2}+3=a+b.$ Din cele de mai sus unul dintre numere $a$ și $b$ trebuie să fie $2$ .

Alegem $a=2.$ Atunci,

n^{4}+n^{2}+3=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1).

Cum

(n^{2}-n+1)

și

(n^{2}+n+1)

sunt mai mari ca

1

în condițiile date, rezultă

b

nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''E:14.331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
+'''E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)'''
-<br>
-''Fie <math> n >= 2 </math> un număr natural. Arătați că numărul <math> n^4 + n^2 + 3 </math> nu poate fi scris ca suma a doua numere prime.''
+''Fie ''<math> n \ge2 </math>'' un număr natural. Arătați că numărul ''<math> n^4 + n^2 + 3 </math> ''nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.''
-<br>
 '''Soluție.'''
-<br>
-Avem <math display>n^4 + n^2 + 3 = \left (n^2(n^2+1) + 3) </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci<math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime,<math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math>Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a</math> și <math>b</math> trebuie să fie<math>2</math>. Alegem <math>a=2.</math>Atunci, <math> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
+Avem <math>n^4 + n^2 + 3 = n^2(n^2+1) + 3 </math>. Deoarece <math>n^2</math> și <math>n^2 + 1</math> sunt consecutive, produsul lor este un număr par și atunci <math> n^4 + n^2 + 3</math> este număr impar. Presupunem că există două numere prime, <math>a</math> și <math>b</math> astfel încât <math>n^4 + n^2 + 3 = a + b.</math> Din cele de mai sus unul dintre numere <math>a </math> și <math>b </math> trebuie să fie <math>2</math>.
+Alegem <math>a =2.</math> Atunci,  <math display="block"> n^4 + n^2 + 3 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1).</math>Cum <math>(n^2 - n + 1)</math> și <math>(n^2 + n + 1)</math> sunt mai mari ca <math>1</math> în condițiile date, rezultă <math>
 b</math> nu este număr prim. Prin urmare, presupunerea făcută este falsă.