E:16380: Difference between revisions

Latest revision as of 13:08, 30 December 2023

E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)

Aflaţi numerele naturale $a,b,c,d$ pentru care are loc relaţia $2(3^{a+1}+3^{b+1}+3^{c+1})=3\cdot 6\cdot 9\cdot \ldots \cdot d.$

Soluție:

Egalitatea din enunţul se poate scrie $6(3^{a}+3^{b}+3^{c})=3\cdot 6\cdot 9\cdot \ldots \cdot d.$ Trebuie ca $d\geqslant 6$ şi $d$ să fie divizibil cu $3.$

Dacă $d=6,$ atunci $3^{a}+3^{b}+3^{c}=3,$ ceea ce înseamnă $a=b=c=0.$

Dacă $d=9,$ atunci $3^{a}+3^{b}+3^{c}=27,$ de unde rezultă că $a=b=c=2.$

Dacă $d=12,$ obţinem $3^{a}+3^{b}+3^{c}=3^{4}\cdot 4,$ adică $3^{a-4}+3^{b-4}+3^{c-4}=4,$ ecuaţie care nu are soluţii.

Pentru $d\geqslant 15,$ ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar $u(3^{n})\in \{1,3,7,9\},$ deci o sumă de trei puteri ale lui $3$ nu are niciodată ultima cifră zero.

Aşadar, soluţiile căutate sunt $(a,b,c,d)\in \{(0,0,0,6),(2,2,2,9)\}.$

@@ Line 11: / Line 11: @@
 Dacă <math>d = 9,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 27,</math> de unde rezultă că <math>a = b = c = 2.</math>
-Dacă <math>d = 12,</math> obţinem <math>3^a + 3^b +3^c = 3^4 \cdot 4,</math> adică <math>3^{a - 4} + 3^{b - 4} + 3^{c - 4} = 4,</math> ecuaţia care nu are soluţii.
+Dacă <math>d = 12,</math> obţinem <math>3^a + 3^b +3^c = 3^4 \cdot 4,</math> adică <math>3^{a - 4} + 3^{b - 4} + 3^{c - 4} = 4,</math> ecuaţie care nu are soluţii.
 Pentru <math>d \geqslant 15,</math> ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar <math>u(3^n) \in \{1,3,7,9\},</math> deci o sumă de trei puteri ale lui <math>3</math> nu are niciodată ultima cifră zero.
 Aşadar, soluţiile căutate sunt <math>(a, b, c, d) \in \{(0, 0, 0, 6),(2, 2, 2, 9)\}.</math>