E:16380: Difference between revisions
Pagină nouă: '''E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)''' ''Aflaţi numerele naturale ''<math>a,b,c,d</math>'' pentru care are loc relaţia ''<math>2(3^{a + 1} + 3^{b + 1} + 3^{c + 1}) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> '''Soluție:''' Egalitatea din enunţul se poate scrie <math>6(3^a + 3^b +3^c) = 3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot d.</math> Trebuie ca <math>d \geqslant 6</math> şi <math>d</math> să fie divizibil cu <math>3.</math> Dacă... |
No edit summary |
||
| (One intermediate revision by one other user not shown) | |||
| Line 11: | Line 11: | ||
Dacă <math>d = 9,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 27,</math> de unde rezultă că <math>a = b = c = 2.</math> | Dacă <math>d = 9,</math> atunci <math>3^a + 3^b +3^c = 27,</math> de unde rezultă că <math>a = b = c = 2.</math> | ||
Dacă <math>d = 12,</math> obţinem <math>3^a + 3^b +3^c = 3^4 \cdot 4,</math> adică <math>3^{a - 4} + 3^{b - 4} + 3^{c - 4} = 4,</math> | Dacă <math>d = 12,</math> obţinem <math>3^a + 3^b +3^c = 3^4 \cdot 4,</math> adică <math>3^{a - 4} + 3^{b - 4} + 3^{c - 4} = 4,</math> ecuaţie care nu are soluţii. | ||
Pentru <math>d \geqslant 15,</math> ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar <math>u(3^n) \in {1,3,7,9},</math> deci o sumă de trei puteri ale lui <math>3</math> nu are niciodată ultima cifră zero. | Pentru <math>d \geqslant 15,</math> ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar <math>u(3^n) \in \{1,3,7,9\},</math> deci o sumă de trei puteri ale lui <math>3</math> nu are niciodată ultima cifră zero. | ||
Aşadar, soluţiile căutate sunt <math>(a, b, c, d) \in \{(0, 0, 0, 6),(2, 2, 2, 9)\}.</math> | Aşadar, soluţiile căutate sunt <math>(a, b, c, d) \in \{(0, 0, 0, 6),(2, 2, 2, 9)\}.</math> | ||
Latest revision as of 13:08, 30 December 2023
E:16380 (Cristina Vijdeluc, Salonic şi Mihai Vijdeluc, Baia Mare)
Aflaţi numerele naturale pentru care are loc relaţia
Soluție:
Egalitatea din enunţul se poate scrie Trebuie ca şi să fie divizibil cu
Dacă atunci ceea ce înseamnă
Dacă atunci de unde rezultă că
Dacă obţinem adică ecuaţie care nu are soluţii.
Pentru ultima cifră a produsului din membrul drept este zero. Dar deci o sumă de trei puteri ale lui nu are niciodată ultima cifră zero.
Aşadar, soluţiile căutate sunt
