28354: Difference between revisions

From Bitnami MediaWiki
No edit summary
No edit summary
 
(One intermediate revision by the same user not shown)
Line 1: Line 1:
'''28354 (Florin Bojor)'''
'''28354 (Florin Bojor)'''


''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>,<math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
''Fie <math>O</math> punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex <math>ABCD</math> și punctele <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> și <math>H</math> situate pe segmentele <math>OA</math>, <math>OB</math>, <math>OC</math>, respectiv <math>OD</math>, astfel încât <math>AE = BF = CG = DH</math>. Notăm cu <math>I</math>, <math>J</math>, <math>K</math> și <math>L</math> mijloacele segmentelor <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, respectiv <math>DA</math> și cu <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> și <math>Q</math> mijloacele segmentelor <math>EF</math>, <math>FG</math>,
<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
<math>GH</math>, respectiv <math>HE</math>. Arătați că:
<ol><li> a) punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>
<ol type="a"><li> punctele <math>I</math>,<math>M</math> și <math>K</math> sunt coliniare dacă și numai dacă <math>AC=BD</math>.</li>
<li> b) <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și  <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''
<li>  <math>AC \not= BD</math>, punctele de intersecție ale dreptelor <math>IM</math>,<math>NJ</math>,<math>PK</math> și  <math>LQ</math> sunt vârfurile unui dreptunghi.</li></ol>''





Latest revision as of 13:31, 4 December 2023

28354 (Florin Bojor)

Fie punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex și punctele , , și situate pe segmentele , , , respectiv , astfel încât . Notăm cu , , și mijloacele segmentelor , , , respectiv și cu , , și mijloacele segmentelor , , , respectiv . Arătați că:

  1. punctele , și sunt coliniare dacă și numai dacă .
  2. , punctele de intersecție ale dreptelor ,, și sunt vârfurile unui dreptunghi.


Soluție. a)Fie și versorii și ai vectorilor , respectiv .

Deoarece și sunt mijloacele segmentelor , respectiv , obținem:

. (1)

Cum este mijloxul segemntului ,deducem:


(2)

Din (1) și (2) rezultă ca , și sunt coliniare dacă și numai dacă .

b) Notăm și .

Se observă că semidreptele și sunt bisectoarele unghiurilor , respectiv . Ca în (1),deducem că , iar .

Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare, de unde rezultă că ,, și . Dar , deci , și sunt necoliniare, așadar , și analog . Notând cu , , , intersecțiile perechilor de drepte și , și , și , și , din cele de mai înaite rezultă că este dreptunghi.