28354

28354 (Florin Bojor)

Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor patrulaterului convex $ABCD$ și punctele $E$, $F$, $G$ și $H$ situate pe segmentele $OA$, $OB$, $OC$, respectiv $OD$, astfel încât $AE=BF=CG=DH$. Notăm cu $I$, $J$, $K$ și $L$ mijloacele segmentelor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $DA$ și cu $M$, $N$, $P$ și $Q$ mijloacele segmentelor $EF$, $FG$, $GH$, respectiv $HE$. Arătați că:

1. punctele $I$,$M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$.
2. $AC\not =BD$, punctele de intersecție ale dreptelor $IM$,$NJ$,$PK$ și $LQ$ sunt vârfurile unui dreptunghi.

Soluție. a)Fie $AE=BF=CG=x$ și versorii ${\overrightarrow {i}}$ și ${\overrightarrow {j}}$ ai vectorilor ${\overrightarrow {AC}}$, respectiv ${\overrightarrow {BD}}$.

Deoarece $I$ și $M$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $EF$, obținem:

${\overrightarrow {IM}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AE}}+{\overrightarrow {BF}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$. (1)

Cum $K$ este mijloxul segemntului $CD$,deducem:

${\overrightarrow {IK}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {BD}})={\frac {AC}{2}}\cdot {\overrightarrow {i}}+{\frac {BD}{2}}\cdot {\overrightarrow {j}}$ (2)

Din (1) și (2) rezultă ca $I$, $M$ și $K$ sunt coliniare dacă și numai dacă $AC=BD$.

b) Notăm ${\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OR}}$ și ${\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}}={\overrightarrow {OS}}$.

Se observă că semidreptele $(OR$ și $(OS$ sunt bisectoarele unghiurilor $COD$, respectiv $AOD$. Ca în (1),deducem că ${\overrightarrow {PK}}={\overrightarrow {IM}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OR}}$, iar ${\overrightarrow {JN}}={\overrightarrow {QL}}={\frac {x}{2}}\cdot ({\overrightarrow {-i}}+{\overrightarrow {j}})={\frac {x}{2}}\cdot {\overrightarrow {OS}}$.

Fiind bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare, semidreptele (OR și OS sunt perpendiculare, de unde rezultă că $IM\perp JN$,$JN\perp KP$, $KP\perp LQ$ și $LQ\perp IM$. Dar $AC\not =BD$, deci $I$, $M$ și $K$ sunt necoliniare, așadar $IM\parallel KP$, și analog $JN\parallel LQ$. Notând cu $X$, $Y$, $Z$, $W$ intersecțiile perechilor de drepte $IM$ și $JN$, $JN$ și $KP$, $KP$ și $LQ$, $LQ$ și $IM$, din cele de mai înaite rezultă că $XYZW$ este dreptunghi.