28338: Difference between revisions

Latest revision as of 07:24, 20 November 2023

28338 (Nicolae Muşuroia)

Fie $M$ un punct în planul triunghiului $ABC$ iar $A_{1},B_{1},C_{1}$ simetricele punctului $M$ față de mijloacele laturilor $BC,AC,$ respectiv $AB$ .

a) Arătați că dreptele $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ sunt concurente într-un punct $N$ .

b) Arătați că punctele $M,G,N$ sunt coliniare și că ${\frac {MG}{GN}}$ $=2,$ unde $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ .

Soluție:

a) Patrulaterele $ABA_{1}B_{1}$ și $BCB_{1}C_{1}$ sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc.

Rezultă $AA_{1}$ $\cap$ $BB_{1}$ $\cap$ $CC_{1}$ $=$ $\{N\}$ .

b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum $AMBC_{1}$ $,$ $AMCB_{1}$ și $BMCA_{1}$ sunt paralelograme, rezultă

a_{1}=b+c-m,

b_{1}=c+a-m,

c_{1}=a+b-m.

În plus $,$ cum $N$ este mijlocul lui $AA_{1}$ $,$ rezultă că $n=$ ${\frac {a+a_{1}}{2}}$ $=$ ${\frac {a+b+c-m}{2}}$ .

Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC,$ deci $g=$ ${\frac {a+b+c}{3}}$ .

Se verifică imediat că ${\frac {g-m}{n-g}}$ $=2$ $\in$ $\mathbb {R}$ $,$ deci punctele $M,G$ și $N$ sunt coliniare și ${\frac {MG}{GN}}$ $=$ ${\frac {g-m}{n-g}}$ $=$ ${\frac {g-m}{n-g}}$ $=$ $2$ .

@@ Line 9: / Line 9: @@
 '''Soluție:'''
-a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc. Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.
+a) Patrulaterele <math>ABA_1B_1</math> și <math>BCB_1C_1</math> sunt paralelograme, prin urmare diagonalele lor au același mijloc.
-b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă
+Rezultă <math>AA_1</math> <math>\cap</math> <math>BB_1</math> <math>\cap</math> <math>CC_1</math> <math>=</math> <math>\{N\}</math>.
-<math>a_1 = b + c - m</math><math>,</math>                                  <math>b_1 = c + a - m,</math>                                  <math>c_1 = a + b - m</math>.
+b) Notăm afixele punctelor din problemă cu literele mici corespunzătoare. Cum <math>AMBC_1</math><math>,</math> <math>AMCB_1</math> și <math>BMCA_1</math> sunt paralelograme, rezultă
-În plus, cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math>, rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.
+<math display="block"> a_1 = b + c - m,         </math>  <math display="block">b_1 = c + a - m,</math><math display="block">c_1 = a + b - m.</math>
+În plus<math>,</math> cum <math>N</math> este mijlocul lui <math>AA_1</math><math>,</math> rezultă că <math>n =</math> <math>\frac{a+a_1}{2}</math> <math>=</math> <math>\frac{a+b+c-m}{2}</math>.
 Punctul <math>G</math> este centrul de greutate al triunghiului <math>ABC,</math> deci <math>g =</math> <math>\frac{a+b+c}{3}</math>.
 Se verifică imediat că <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>= 2</math> <math>\in</math> <math>\reals</math><math>,</math> deci punctele <math>M, G</math> și <math>N</math> sunt coliniare și <math>\frac{MG}{GN}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>\frac{g-m}{n-g}</math> <math>=</math> <math>2</math>.