28437: Difference between revisions

Latest revision as of 14:31, 11 November 2023

28437 (Nicolae Mușuroaia)

Fie șirul $(a_{n})_{n\geq 1}$ cu termenii strict pozitivi, dat de relația $a_{n+1}=\ln(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}),n\geq 1.$ Determinați $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)\cdot e^{a_{n}}.$

Soluție:
Pentru orice ${n\geq 2}$ avem $a_{n}=\ln(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1})$ , deci $a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}=e^{a_{n}}$ . Rezultă că pentru orice ${n\geq 2}$ are loc

a_{n+1}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n}).

Deoarece

a_{n+1}-a_{n}=\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}}\geq 0)

pentru orice

{n\geq 2}

deducem că șirul

(a_{n})_{n\geq 2}

este strict crescător.
Dacă șirul

(a_{n})_{n\geq 2}

este mărginit superior, atunci

(a_{n})_{n\geq 2}

este convergent cu

\lim _{n\to \infty }(a_{n})=a\in (0,\infty ).

Trecând la limită în relația (1), obținem

a=\ln(e^{a_{n}}+a)

de unde

a=0

, absurd! Prin urmare, șirul

((a_{n})_{n\geq 1}

este crescător și nemărginit superior, deci

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty

.
Atunci

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(e^{a_{n}}+a_{n})-\ln(e^{a_{n}})}{a_{n}}}\cdot e^{a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}\right)}{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}}=1

deoarece din

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty

rezultă că

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e^{a_{n}}}}=0.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28437 (Nicolae Mușuroaia)'''
-'' Fie șirul '' <math> ((a_n))_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația <math> \(a_{n+1}\) </math>
+</br></br>'' Fie șirul '' <math> (a_n)_{n \geq 1} </math> '' cu termenii strict pozitivi, dat de relația'' <math> a_{n+1}=\ln(a_1 + a_2 + ... + a_n), n \geq 1. </math>'' Determinați ''<math>\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n}. </math>
+</br></br>'''Soluție:'''</br>Pentru orice <math> {n \geq 2} </math> avem <math>a_n = \ln(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})
-Fie șirul <math>\(a_n\)</math> cu \(n \geq 1\) cu termeni strict pozitivi, dat de relația \(a_{n+1} = \ln(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)\) pentru \(n \geq 1\).
+</math>, deci <math>a_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = e^{a_n}</math>. Rezultă că pentru orice <math> {n \geq 2} </math> are loc
+</br><math display="block" id="28437eq1">a_{n+1}=\ln(e^{a_n} + a_n).</math>Deoarece <math> a_{n+1} - a_n = \ln(e^{a_n} + a_n) - \ln (e^{a_n} \ge 0) </math> pentru orice <math>{n \geq 2}</math> deducem că șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este strict crescător.<br>Dacă șirul <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este mărginit superior, atunci <math> (a_n)_{n \geq 2} </math> este convergent cu <math>\lim_{{n \to \infty}} (a_n) = a \in (0, \infty). </math> Trecând la limită în relația (1), obținem <math> a = \ln(e^{a_n} + a)</math> de unde <math> a = 0 </math>, absurd! Prin urmare, șirul <math>((a_n)_{n \geq 1}</math> este crescător și nemărginit superior, deci <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty</math>.
+<br>Atunci <math display="block">\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln(e^{a_n} + a_n) - \ln(e^{a_n})}{a_n} \cdot e^{a_n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln\left(1+\frac{a_n}{e^{a_n}}\right)}{\frac{a_n}{e^{a_n}}} = 1</math> deoarece din <math>\lim_{{n \to \infty}} a_n =\infty </math> rezultă că <math display="block"> \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_n}{e^{a_n}}=0.</math>