28450: Difference between revisions

Latest revision as of 11:48, 31 October 2023

28450 (Nicolae Mușuroia)

Fie $n\in$ ℕ, $n\geq 4$ și $p\in \{1,2,...,[n/2]\}.$ Considerăm mulțimile disjuncte $A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ și $B=\{b_{1},b_{2},...,b_{n}\}$ , formate din primii $n$ termeni a două progresii aritmetice $(a_{k})_{k\geq 1}$ și $(b_{k})_{k\geq 1}$ cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice $n+p+1$ elemente distincte ale mulțimii $A\cup B$ există două a căror sumă este egală cu $a_{2p}+b_{p}.$

Soluție:

Fie $r\in$ ${\displaystyle \mathbb {R^{*}} }$ rația primei progresii. Observăm că

a_{2p}+b_{p}=a_{1}+b_{1}+p\cdot r=a_{p+1}+b_{1}=a_{p+2}+b_{2}=...=a_{n}+b_{n-p}.(1)

Presupunem că putem alege

n+p+1

, elemente distincte ale lui

A\cup B

, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de

a_{2p}+b_{p}.

Din (1) deducem că printre aceste

n+p+1

elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile

\{a_{p+1},b_{1}\},\{a_{p+2},b_{2}\},...,\{a_{n},b_{n-p}\}

. Cum

2n-(n-p)=n+p<n+p+1

, rezultă că printre cele

n+p+1

numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''28450 (Nicolae Mușuroia)'''
-Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>
+''Fie <math>n \in </math> ℕ, <math>n \geq 4</math> și <math>p \in \{1, 2,..., [n/2]\}.</math> Considerăm mulțimile disjuncte <math>A = \{ a_{1}, a_{2},..., a_{n} \}</math> și <math>B = \{ b_{1}, b_{2},..., b_{n} \}</math>, formate din primii <math>n</math> termeni a două progresii aritmetice <math>(a_{k})_{k\geq1}</math> și <math>(b_{k})_{k\geq1}</math> cu rații opuse, nenule. Arătați că printre orice <math>n + p + 1</math> elemente distincte ale mulțimii <math>A \cup B</math> există două a căror sumă este egală cu <math>a_{2p} + b_p.</math>''
 '''Soluție:'''
-Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math>a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}. </math> (1) Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste  <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \},  \{ a_{p+2}, b_{2} \},...,  \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.
+Fie <math>r \in </math> <math>{\displaystyle \mathbb {R^*} }</math> rația primei progresii. Observăm că <math display="block">a_{2p} + b_p = a_1 + b_1 + p \cdot r = a_{p+1} + b_1 = a_{p+2} + b_2 = ... = a_{n} + b_{n-p}.  (1) </math> Presupunem că putem alege <math>n + p + 1 </math>, elemente distincte ale lui <math>A \cup B</math>, astfel încât suma a oricăror două dintre acestea să fie diferită de <math>a_{2p} + b_p.</math> Din (1) deducem că printre aceste  <math>n + p + 1</math> elemente trebuie să se afle cel mult câte un element din fiecare dintre mulțimile <math> \{ a_{p+1}, b_{1} \},  \{ a_{p+2}, b_{2} \},...,  \{ a_{n}, b_{n-p} \}</math>. Cum <math>2n - (n - p) = n + p < n + p + 1</math>, rezultă că printre cele <math>n + p + 1</math> numere alese se află cel puțin două care aparțin aceleiași dintre mulțimile precedente, contradicție.