28315

28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia) ‎

Fie $P_{1}P_{2}\ldots P_{n}$ $(n\geq 3)$ un poligon regulat și $M$ un punct în interiorul poligonului. Notăm cu $M_{1}$, $M_{2},\ldots ,M_{n}$ simetricele punctului $M$ față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului $M$, poligoanele $M_{1}$$M_{2}\ldots M_{n}$ au același centru de greutate.

Soluție:

Vom demonstra următoarea lemă: În planul complex, simetricul punctului $M(m)$ față de dreapta determinată de punctele $A(a)$ și $B(b)$, unde $|a|=|b|=1$, este punctul $M^{\prime }$ de afix $m^{\prime }=a+b-ab{\overline {m}}.$
Într-adevăr, din faptul că mijlocul $N(n)$ al segmentului $[MM^{\prime }]$ aparține dreptei $AB$, rezultă că ${\frac {n-a}{b-a}}\in \mathbb {R}$, adică

$${\frac {n-a}{b-a}}={\frac {{\overline {n}}-{\overline {a}}}{{\overline {b}}-{\overline {a}}}},(1),$$

iar din $MM^{\prime }\perp AB$, deducem că ${\frac {m^{\prime }-m}{b-a}}\in i\mathbb {R^{*}}$, adică

$${\frac {m^{\prime }-m}{b-a}}=-{\frac {{\overline {m^{\prime }}}-{\overline {m}}}{{\overline {b}}-{\overline {a}}}},(2)$$

Având în vedere că ${\overline {a}}={\frac {1}{a}},{\overline {b}}={\frac {1}{b}}$ și $n={\frac {m+m^{\prime }}{2}}$, din relația $(1)$ rezultă că

$$m^{\prime }+m=2(a+b)-ab({\overline {m^{\prime }}}+{\overline {m}}),(3)$$

iar din relația $(2)$ că

$$m^{\prime }-m=ab({\overline {m^{\prime }}}-{\overline {m}}),(4).$$

Adunând egalitățile $(3)$ și $(4)$ obținem $m^{\prime }=a+b-ab{\overline {m}}$.

Revenind la problemă, considerăm un reper cartezian cu originea în centrul poligonului, astfel încât afixele punctelor $P_{n}$ și $P_{1}$ să fie $1$, respectiv $\epsilon =\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$. Ca urmare, afixul punctului $P_{k}$ este $\epsilon ^{k}$, pentru orice $k\in \{1,2,\ldots ,n\}$.

Fie $m$ afixul punctului $M$ și $m_{k}$ afixul punctului $M_{k},1\leq k\leq n.$ Folosind lema, rezultă că $m_{k}=\epsilon ^{k}+\epsilon ^{k+1}-\epsilon ^{2k+1}{\overline {m}}$, pentru orice $k$. În consecință,

$$\sum _{k=1}^{n}m_{k}=(1+\epsilon )\sum _{k=1}^{n}\epsilon ^{k}+{\overline {m}}\cdot \sum _{k=1}^{n}\epsilon ^{2k+1}=(1+\epsilon )\cdot \epsilon \cdot {\frac {\epsilon ^{n}-1}{\epsilon -1}}+{\overline {m}}\cdot \epsilon ^{3}\cdot {\frac {\epsilon ^{2n}-1}{\epsilon ^{2}-1}}=0$$

deci centrul de greutate al poligonului $M_{1}M_{2}\ldots M_{n}$ este originea, indiferent de alegerea punctului $M$.