2015-12-1: Difference between revisions

Latest revision as of 11:28, 3 September 2023

Enunț Fie $f:[-1,1]\to \mathbb {R}$ o funcție crescătoare, derivabilă pe $[-1,1]$ cu $f'(0)\neq 0$ . Să se arate ca există cel puțin un punct $c\in (-1,1),c\neq 0$ , cu proprietatea că

2cf(c)+\int _{0}^{c}f(x)\,dx\geq 0.

.

Soluție [Robert Rogozsan]

Dacă $\ f(0)\geq 0$ , cum $f$ este crescătoare, vom avea că $f(t)\geq 0,\forall t\geq 0$ , deci

2tf(t)+\int _{0}^{t}f(x)\,dx\geq 0,\forall t\geq 0.

Atunci luăm

c\in (0,1)

arbitrar și concluzia este verificată. Analog, pentru

\ f(0)\leq 0

(luăm

c

din

(-1,0)

).

$Observatie:$ În funcție de cum e $f(0)$ față de $0$ , concluzia se verifică pentru $orice\ c\in (0,1)$ ( $(-1,0)$ ). Nu avem nevoie de faptul că $f$ e derivabilă, nici de $f'(0)\neq 0$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
-<math>Problema:</math> Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca exista cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0</math>.
+'''<big>Enunț</big>'''  Fie <math>f:[-1,1]\to \mathbb{R}</math> o funcție crescătoare, derivabilă pe <math>[-1,1]</math> cu <math>f'(0) \neq 0</math>. Să se arate ca există cel puțin un punct <math>c \in (-1,1), c \neq 0</math>, cu proprietatea că <math display="block">2cf(c) + \int_{0}^{c} f(x)\, dx \geq 0.</math>.
-<math>Solu\c t ie:\ (Robert \ Rogozsan)</math>
+<big>'''Soluție [Robert Rogozsan]'''</big>
-Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> e crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math>2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0</math>. Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).
-<math>Observa\c t ie:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.
+Dacă <math> \ f(0) \geq 0</math>, cum <math>f</math> este crescătoare, vom avea că <math>f(t) \geq 0, \forall t \geq 0</math>, deci <math display="block">2tf(t) + \int_{0}^{t} f(x)\, dx \geq 0, \forall t \geq 0.</math>Atunci luăm <math>c \in (0,1)</math> arbitrar și concluzia este verificată. Analog, pentru <math> \ f(0) \leq 0</math> (luăm <math>c</math> din <math>(-1,0)</math>).
+<math>Observatie:</math> În funcție de cum e <math>f(0)</math> față de <math>0</math>, concluzia se verifică pentru <math>orice \ c \in (0,1)</math> (<math>(-1,0)</math>). Nu avem nevoie de faptul că <math>f</math> e derivabilă, nici de <math>f'(0) \neq 0</math>.