S:E18.131: Difference between revisions

Latest revision as of 09:51, 8 March 2023

S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)

Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.

Soluție

Fie $k$ numărul căutat. Atunci

x+{\bigl (}x+1{\bigr )}+\ldots +{\bigl (}x+2017{\bigr )}=k^{2}

ceea ce revine, în mod echivalent, la

1009\cdot {\bigl (}2x+2017{\bigr )}=k^{2}

Deci

1009|k^{2}

, iar cum

1009

este număr prim, se deduce că

1009|k

.

Atunci, există $l\in \mathbb {N} ^{\ast }$ , cel mai mic posibil, pentru care $k=1009\cdot l$ .

Se obține $2x=1009\cdot l^{2}-2017\in \mathbb {N}$ , de unde rezultă $l=3$ și

k=3027

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)''' - soluție
+'''S:E18.131 (Nicolae Mușuroia)'''
-Determinați cel mai ic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.
+Determinați cel mai mic număr natural pătrat perfect care se poate scrie ca sumă de 2018 numere naturale consecutive.
+'''Soluție'''
+Fie <math>k</math> numărul căutat. Atunci<math display="block">x+\bigl(x+1\bigr) + \ldots +\bigl(x+2017\bigr)=k^2</math>ceea ce revine, în mod echivalent, la<math display="block">1009 \cdot \bigl(2x+2017\bigr) = k^2</math>Deci <math>1009 | k^2</math>, iar cum <math>1009</math> este număr prim, se deduce că <math>1009 | k</math>.
+Atunci, există <math>l \in \mathbb{N}^\ast</math>, cel mai mic posibil, pentru care <math>k=1009 \cdot l</math>.
+Se obține <math>2x=1009\cdot l^2 - 2017 \in \mathbb{N} </math>, de unde rezultă <math>l=3 </math> și
+<math display="block">k=3027 </math>