Gazeta matematică 1977: Difference between revisions

Latest revision as of 07:26, 24 October 2024

Gazeta Matematică 1/1977[edit | edit source]

E: 5743 (Grigore Balog)

Fie $A$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7a8b}}$ , care se divid cu $15$ și $B$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7x8y}}$ , care se divid cu $40$ . Să se determine mulțimile $A\cup B$ , $A\cap B$ și $B\setminus A$ .

Gazeta Matematică 2/1977[edit | edit source]

16404 (Gabriela Kadar)

Aflați valoarea minimă a expresiei $E\left(x,y\right)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , cu $x,y\in \mathbb {R}$ , astfel încât $mx+ny=p$ , unde $p>0$ , $m,n\in \mathbb {R}$ .

@@ Line 1: / Line 1: @@
+=== Gazeta Matematică 1/1977 ===
+'''E: 5743 (Grigore Balog)'''
+''Fie'' <math>A</math> ''mulțimea numerelor de forma'' <math>\overline{7a8b}</math>, ''care se divid cu'' <math>15</math> ''și'' <math>B</math> ''mulțimea numerelor de forma'' <math>\overline{7x8y}</math>,'' care se divid cu'' <math>40</math>''. Să se determine mulțimile'' <math>A \cup B</math>'', ''<math>A \cap B</math>'' și ''<math>B \setminus A</math>.
+=== Gazeta Matematică 2/1977 ===
 '''[[16404]] (Gabriela Kadar)'''
 ''Aflați valoarea minimă a expresiei'' <math>E\left(x,y\right) = \sqrt{x^2+y^2}</math>, ''cu'' <math>x,y\in \mathbb{R}</math>, ''astfel încât'' <math>mx+ny = p </math>, ''unde'' <math>p > 0</math>, <math>m,n \in \mathbb{R}</math>.
-'''Soluție:'''
-Fie <math>n \ne 0</math>. Din condiția <math>mx+ny = p </math> se obține <math>y = \frac{p-mx}{n}</math>. Atunci <math display="block">x^2 + y^2 = x^2 + \left( \frac{p-mx}{n}\right)^2 = \frac{1}{n^2} \cdot \left[ \left(n^2+m^2\right)x^2 - 2pmx +p^2 \right].</math>Dacă considerăm funcția <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, cu <math>f\left(x\right) = \frac{1}{n^2} \cdot \left[ \left(n^2+m^2\right)x^2 - 2pmx +p^2 \right]</math>, atunci valoarea minimă pentru funcția <math>f</math> se atinge în <math display="block">x_v = \frac{pm}{n^2 + m^2},</math>iar valoarea minimă este<math display="block">f\left(x_v\right) = \frac{p^2}{n^2+m^2}.</math>Atunci valoarea minimă a expresieie <math>E\left(x,y\right)</math> este <math display="block">E_{min} = \frac{p}{\sqrt{n^2 + m^2}}.</math>Dacă <math>n=0</math>, din <math>p>0</math>, rezultă <math>m\ne 0</math>, atunci <math>x = \frac{p}{m}</math>, <math>y\in \mathbb{R}</math> și <math>E\left(x,y\right) = \sqrt{\left(\frac{p}{m}\right)^2+y^2}</math>, cu valoarea minimă <math display="block">E_{min} = \frac{p}{\left| m \right|}.</math>'''Observație''' (Interpretarea geometrică) Din punct de vedere geometric, cerința problemei necesită determinarea distanței minime de la dreapta <math>mx+ny = p </math> la suprafața <math>z= \sqrt{x^2 + y^2}</math>, distanță care coincide cu distanța de la originea axelor la dreapta <math>mx+ny = p </math>.
-[[File:Dreapta con.png|center|thumb|Minimul expresiei este distanța de la originea axelor la dreaptă]]