E:16892: Difference between revisions

Latest revision as of 13:34, 20 September 2025

E:16892 (Nicolae Mușuroia)

Aflați suma divizorilor pari ai celui mai mare număr natural $a$ , cu $a<1000$ , pentru care suma divizorilor impari este egală cu $24$ .

Soluție

Căutăm numere de trei cifre, de forma $2^{m}\cdot b$ , cu $m\in \mathbb {N} ^{\ast }$ și $b$ , unde suma divizorilor numărului natural impar $b$ este egală cu $24$ .

Avem două posibilități:

24=1+23

și

24=1+3+5+3\cdot 5,

deci

b=23

și

b=15

.

Din $100\leq 2^{m}\cdot 23\leq 999$ , rezultă $m\in \left\{3,4,5,6\right\}$ .

Deducem că numerele naturale de trei cifre care îndeplinesc condiția problemei sunt

$2^{3}\cdot 23$ , $2^{4}\cdot 23$ , $2^{5}\cdot 23$ , $2^{3}\cdot 15$ , $2^{4}\cdot 15$ , $2^{5}\cdot 15$ , $2^{6}\cdot 15$ .

Dintre acestea, cel mai mare este $2^{6}\cdot 15$ . Suma divizorilor pari ai numărului $a=2^{6}\cdot 15$ este

S=2\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+2^{2}\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+\ldots +2^{6}\left(1+3+5+3\cdot 5\right)=3024.

@@ Line 7: / Line 7: @@
 Căutăm numere de trei cifre, de forma <math>2^m \cdot b</math>, cu <math>m\in \mathbb{N}^\ast</math> și <math>b</math>, unde suma divizorilor numărului natural impar <math>b</math> este egală cu <math>24</math>.
-Avem două posibilități: <math>24=1+23</math> <math>24=1+3+5+3\cdot 5</math>, deci <math>b=23</math> și <math>b=15</math>.
+Avem două posibilități: <math display="block">24=1+23</math>și
-Din <math>100 \le 2^m \cdot 23 \le 999</math>, rezultă <math>m\in \left\{3,4,5,6\right\}</math>. Deducem că numerele naturale de trei cifre care îndeplinesc condiția problemei sunt <math>2^3\cdot 23</math>, <math>2^4\cdot 23</math>, <math>2^5\cdot 23</math>, <math>2^3\cdot 15</math>, <math>2^4\cdot 15</math>, <math>2^5\cdot 15</math>, <math>2^6\cdot 15</math>. Dintre acestea, cel mai mare este <math>2^6\cdot 15</math>. Suma divizorilor pari ai numărului <math>a=2^6\cdot 15</math> este <math>S = 2\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+2^2\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+ \ldots + 2^6 \left(1+3+5+3\cdot 5\right) = 3024.</math>
+<math display="block">24=1+3+5+3\cdot 5,</math>deci <math>b=23</math> și <math>b=15</math>.
+Din <math>100 \le 2^m \cdot 23 \le 999</math>, rezultă <math>m\in \left\{3,4,5,6\right\}</math>.
+Deducem că numerele naturale de trei cifre care îndeplinesc condiția problemei sunt
+<math>2^3\cdot 23</math>, <math>2^4\cdot 23</math>, <math>2^5\cdot 23</math>, <math>2^3\cdot 15</math>, <math>2^4\cdot 15</math>, <math>2^5\cdot 15</math>, <math>2^6\cdot 15</math>.
+Dintre acestea, cel mai mare este <math>2^6\cdot 15</math>. Suma divizorilor pari ai numărului <math>a=2^6\cdot 15</math> este <math display="block">S = 2\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+2^2\left(1+3+5+3\cdot 5\right)+ \ldots + 2^6 \left(1+3+5+3\cdot 5\right) = 3024.</math>