E:16893: Difference between revisions
Created page with "'''E:16893 (Traian Covaciu)''' ''Arătați că numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt simultan prime doar dacă <math>n</math> este un multiplu natural al lui <math>6</math>.'' '''Soluție''' Pentru <math>n=6</math> se obțin numerele prime <math>42</math> și <math>101</math>. Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 |\, n</math>...." |
mNo edit summary |
||
| (One intermediate revision by the same user not shown) | |||
| Line 9: | Line 9: | ||
Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 |\, n</math>. | Dacă <math>n</math> este impar, atunci numerele <math>7n-1</math> și <math>17n-1</math> sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că <math>2 |\, n</math>. | ||
Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+1</math>, atunci numărul <math>7n-1</math> nu este prim, căci <math>7n-1 = 7\left(3k+1\right)-1 = 3\left(7k+2\right) \vdots \, 3 </math> | Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+1</math>, atunci numărul <math>7n-1</math> nu este prim, căci <math display="block">7n-1 = 7\left(3k+1\right)-1 = 3\left(7k+2\right) \vdots \, 3 </math> | ||
Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci <math | Dacă există <math>k\in \mathbb{N}</math> astfel încât <math>n = 3k+2</math>, atunci numărul <math>17n-1</math> nu este prim, căci <math display="block">17n-1 = 17\left(3k+2\right)-1 = 3\left(17k+11\right) \vdots \, 3. </math>Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 |\, n</math>. | ||
Cum <math>n</math> trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui <math>3</math>, deducem că <math>6 |\, n<math>. | |||
Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>. | Observație. Perechi <math>\left(7n-1, 17n-1\right)</math> formate din numere prime se obține pentru <math>n=6</math>, <math>n=60</math>, <math>n=120</math>, <math>n=300</math>. | ||
Latest revision as of 13:13, 20 September 2025
E:16893 (Traian Covaciu)
Arătați că numerele și sunt simultan prime doar dacă este un multiplu natural al lui .
Soluție
Pentru se obțin numerele prime și .
Dacă este impar, atunci numerele și sunt pare, deci nu pot fi prime, ceea ce implică faptul că .
Dacă există astfel încât , atunci numărul nu este prim, căci
Dacă există astfel încât , atunci numărul nu este prim, căci
Cum trebuie să fie un număr par care este și multiplu al lui , deducem că .
Observație. Perechi formate din numere prime se obține pentru , , , .
