E:16891

E:16891 (Sever Pop)

Determinați numerele prime $p$, $q$, $r$, distincte două câte două, pentru care are loc egalitatea $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$.

Soluție

Deoarece $3p^{4}-5q^{4}=2\left(13+2r^{2}\right)$ este număr par, deducem că numerele prime $p$ și $q$ au aceeași paritate, deci sunt impare.

Cum $3p^{4}-5q^{4}>26>0$, avem $3p^{3}>5q^{4}$, deci $p>q$. Atunci $p\geq 5$.

Pentru $p=5$, avem $q=3$ și se obține $3\cdot 5^{4}-3\cdot 3^{4}-4r^{2}=26$. Rezultă $r=19$.

Pentru orice număr prim $p>5$ avem $u\left(p^{4}\right)=1$, deci $u\left(2p^{4}+1\right)=3$, unde prin $u\left(n\right)$ s-a notat ultima cifră a numărului natural $n$. Egalitatea din ipoteza problemei se scrie în mod echivalent $\left(2r\right)^{2}=3p^{4}-5q^{4}-26=5\left(p^{4}-q^{4}-5\right)-\left(2p^{4}+1\right).$ Cum numerele $p$ și $q$ sunt ambele impare, deducem că $u\left(5\left(p^{4}-q^{4}-5\right)\right)=5$. Atunci $u\left(\left(2r\right)^{2}\right)=u\left(5-3\right)=2$. Cum un pătrat perfect nu poate avea ultima cifră $2$, deducem că pentru $p>5$, ecuația nu are soluții.

Prin urmare, unica soluție este $\left(p,q,r\right)=\left(5,3,19\right)$.