E:16890: Difference between revisions
Created page with "'''E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)''' ''Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul <math>n</math>, numărul <math>2024^n+n^{2024} + 2</math> nu este un pătrat perfect.'' '''Soluție''' Fie <math>N = 2024^n+n^{2024} + 2</math>. Dacă <math>n</math> este un număr par, atunci există numerele naturale nenule <math>t</math> și <math>u</math> pentru care <math>n^{2024} = 4t</math> și <math>2024^n = 4u</math>. Atunci <math>N = 4t+4u+2 <math>, deci exi..." |
mNo edit summary |
||
| Line 7: | Line 7: | ||
Fie <math>N = 2024^n+n^{2024} + 2</math>. | Fie <math>N = 2024^n+n^{2024} + 2</math>. | ||
Dacă <math>n</math> este un număr par, atunci există numerele naturale nenule <math>t</math> și <math>u</math> pentru care <math>n^{2024} = 4t</math> și <math>2024^n = 4u</math>. Atunci <math>N = 4t+4u+2 <math>, deci există numărul natural nenul <math>v</math> pentru care <math>N=4v+2</math>, ceea ce implică faptul că <math>N</math> nu poate fi un pătrat perfect. | Dacă <math>n</math> este un număr par, atunci există numerele naturale nenule <math>t</math> și <math>u</math> pentru care <math>n^{2024} = 4t</math> și <math>2024^n = 4u</math>. Atunci <math>N = 4t+4u+2 </math>, deci există numărul natural nenul <math>v</math> pentru care <math>N=4v+2</math>, ceea ce implică faptul că <math>N</math> nu poate fi un pătrat perfect. | ||
Dacă <math>n</math> este un număr impar, atunci există numerele naturale nenule <math>p</math> și <math>q</math> pentru care <math>n^{2024} = 4p+1</math> și <math>2024^n = 4q</math>. Atunci <math>N = 4p+1 + 4q+2</math>, deci există numărul natural nenul <math>w</math> pentru care <math>N=4w+3</math>, ceea ce implică faptul că <math>N</math> nu poate fi un pătrat perfect. | Dacă <math>n</math> este un număr impar, atunci există numerele naturale nenule <math>p</math> și <math>q</math> pentru care <math>n^{2024} = 4p+1</math> și <math>2024^n = 4q</math>. Atunci <math>N = 4p+1 + 4q+2</math>, deci există numărul natural nenul <math>w</math> pentru care <math>N=4w+3</math>, ceea ce implică faptul că <math>N</math> nu poate fi un pătrat perfect. | ||
În concluzie, numărul <math>2024^n+n^{2024} + 2</math> nu este un pătrat perfect oricare ar fi <math>n</math> un număr natural nenul. | În concluzie, numărul <math>2024^n+n^{2024} + 2</math> nu este un pătrat perfect oricare ar fi <math>n</math> un număr natural nenul. | ||
Latest revision as of 05:37, 20 September 2025
E:16890 (Bogdan Zetea, Călin Hossu)
Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul , numărul nu este un pătrat perfect.
Soluție
Fie .
Dacă este un număr par, atunci există numerele naturale nenule și pentru care și . Atunci , deci există numărul natural nenul pentru care , ceea ce implică faptul că nu poate fi un pătrat perfect.
Dacă este un număr impar, atunci există numerele naturale nenule și pentru care și . Atunci , deci există numărul natural nenul pentru care , ceea ce implică faptul că nu poate fi un pătrat perfect.
În concluzie, numărul nu este un pătrat perfect oricare ar fi un număr natural nenul.