E:16888: Difference between revisions

Latest revision as of 19:44, 19 September 2025

E:16888 (Gheorghe Boroica)

Considerăm $n$ un număr natural nenul. Demonstrați că numărul $N=\underbrace {44\ldots 4} _{n{\text{ cifre}}}\underbrace {22\ldots 2} _{n{\text{ cifre}}}$ poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.

Soluție

Dacă $a=\underbrace {11\ldots 1} _{n{\text{ cifre}}}$ , atunci $9\cdot a+1=10^{n}$ și

N=4\cdot a\cdot 10^{n}+2\cdot a=2\cdot a\cdot \left(2\cdot 10^{n}+1\right)=2\cdot a\cdot \left(2\cdot \left(9a+1\right)+1\right)=6a\cdot \left(6a+1\right).

În concluzie, numărul

N

este produsul numerelor consecutive

6a

și

6a+1

.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''[[E:16888]] (Gheorghe Boroica)'''
-''Considerăm <math>n<math> un număr natural nenul. Demonstrați că numărul <math>N = \underbrace{44\ldots4}_{n \text{  cifre}}\underbrace{22\ldots2}_{n \text{ cifre}} </math>  poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.''
+''Considerăm <math>n</math> un număr natural nenul. Demonstrați că numărul <math>N = \underbrace{44\ldots4}_{n \text{  cifre}}\underbrace{22\ldots2}_{n \text{ cifre}} </math>  poate fi scris ca produsul a două numere naturale consecutive.''
-''''Soluție'''
+'''Soluție'''
-Dacă <math>a=\underbrace{11\ldots1}_{n \text{  cifre}}</math>, atunci <math>9\cdot a+1=10^n</math> și <math display="block">N= 4\cdot a \cdot 10^n + 2 \cdot a = 2\cdot a \cdot \left(2\cdot 10^n + 1\right).</math>
+Dacă <math>a=\underbrace{11\ldots1}_{n \text{  cifre}}</math>, atunci <math>9\cdot a+1=10^n</math> și <math display="block">N= 4\cdot a \cdot 10^n + 2 \cdot a = 2\cdot a \cdot \left(2\cdot 10^n + 1\right) = 2\cdot a \cdot \left(2\cdot \left(9a+1 \right) + 1\right) = 6a \cdot \left(6a+1\right).</math>În concluzie, numărul <math>N</math> este produsul numerelor consecutive <math>6a</math> și <math>6a+1</math>.