E:16910: Difference between revisions

Latest revision as of 17:28, 20 August 2025

E:16910 (Teodora Zetea & Bogdan Zetea)

Aflați soluțiile întregi ale ecuației $x^{4}+4y^{4}=3796.$

Soluție

Cum

x^{4}+4y^{4}=\left(x^{2}+2y^{2}\right)^{2}-4x^{2}y^{2}=\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right),

ecuația dată revine la

\left(x^{2}+2y^{2}-2xy\right)\left(x^{2}+2y^{2}+2xy\right)=3796.

Din

2y^{2}-2xy\,\vdots \,2

și

2y^{2}+2xy\,\vdots \,2

se deduce că expresiile pozitive

x^{2}+2y^{2}-2xy

și

x^{2}+2y^{2}+2xy

au aceeași paritate.

Cum $3796=2^{2}\cdot 13\cdot 73$ , sunt posibile situațiile

{\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-2xy=26\\x^{2}+2y^{2}+2xy=146\end{cases}}

și

{\begin{cases}x^{2}+2y^{2}-2xy=146\\x^{2}+2y^{2}+2xy=26.\end{cases}}

Se obțin soluțiile

\left(x,y\right)\in \left\{\left(\pm 6,-5\right),\,\left(\pm 6,5\right)\right\}.

@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție'''
-Cum <math>x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right)</math>, ecuația dată revine la <math>\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796</math>
+Cum <math display="block">x^4 + 4y^4 = \left(x^2+2y^2\right)^2 - 4x^2y^2 = \left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right),</math>ecuația dată revine la <math display="block">\left(x^2+2y^2-2xy\right)\left(x^2 + 2y^2 +2xy\right) = 3796.</math>Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozitive <math>x^2 + 2y^2-2xy</math> și <math>x^2 +2y^2 +2xy</math> au aceeași paritate.
-Din <math>2y^2-2xy\, \vdots \, 2</math> și <math>2y^2+2xy\, \vdots \, 2</math> se deduce că expresiile pozitive <math>x^2 + 2y^2-2xy</math> și <math>x^2 +2y^2 +2xy</math> au aceeași paritate. Cum <math>3796 = 2^2 \cdot 13\cdot 73</math>, sunt posibile situațiile
+Cum <math>3796 = 2^2 \cdot 13\cdot 73</math>, sunt posibile situațiile
-<math>\begin{cases}
+<math display="block">\begin{cases}
 	x^2+2y^2-2xy = 26 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 146
-\end{cases}</math> și <math>\begin{cases}
+\end{cases}</math> și <math display="block">\begin{cases}
-x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26
+x^2+2y^2-2xy = 146 \\ x^2 + 2y^2 +2xy = 26.
-\end{cases}</math>.
+\end{cases}</math>Se obțin soluțiile <math display="block">\left(x,y\right)\in \left\{ \left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)\right\}.</math>
-Se obțin soluțiile <math>\left(x,y\right)\in \left\{
-\left(\pm 6,-5\right), \, \left(\pm 6, 5\right)
-\right\}<.math>