E:16899: Difference between revisions

Latest revision as of 16:20, 19 August 2025

E:16899 (Angela Lopată)

Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$ . Considerăm punctele $M$ , $N$ pe laturile $\left(BC\right)$ , respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM=CN$ . Fie punctul $P$ astfel încât $NM=MP$ , punctele $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$ , iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$ . Arătaţi că $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$ .

Soluție.

Din ${\begin{cases}PM=MN\\PP_{1}=MM_{1}\\\sphericalangle P_{1}=\sphericalangle M_{1}=90^{\circ }\end{cases}}$ , conform cazului de congruenţă C.I., rezultă $\Delta PP_{1}M\equiv \Delta MM_{1}N$ , deci $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$ .

Din ${\begin{cases}PM=MN\\MB=NC\\\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC\end{cases}}$ , conform cazului de congruenţă L.U.L., rezultă $\Delta PMB\equiv \Delta MNC$ , deci $\sphericalangle PBC=\sphericalangle MCN$ .

Cum punctele $B$ , $M$ și $C$ sunt colinare, avem

\sphericalangle BMP+\sphericalangle PMN+\sphericalangle NMC=180^{\circ }.

În triunghiul $\Delta CMN$ avem

\sphericalangle CNM+\sphericalangle NMC+\sphericalangle MCN=180^{\circ }.

Din cele două egalități și $\sphericalangle PMB=\sphericalangle MNC$ se deduce $\sphericalangle PMN=\sphericalangle MCN$ .

În concluzie, are loc egalitatea

\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA.

@@ Line 1: / Line 1: @@
 '''[[E:16899]] (Angela Lopată)'''
-''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math>N</math> și <math>P</math> sunt de aceeași parte a dreptei <math>BC</math>, iar distanţa de la punctul <math>P</math> la dreapta <math>BC</math> este aceeași cu distanţa de la punctul <math>M</math> la dreapta <math>AC</math>. Arătaţi că <math>\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA</math>.''
+''Fie <math>ABC</math> un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii <math>AB</math> pe dreapta <math>BC</math> este mai mare decât lungimea segmentului <math>\left[AC\right]</math>. Considerăm punctele <math>M</math>, <math>N</math> pe laturile <math>\left(BC\right)</math>, respectiv <math>\left(AC\right)</math> astfel încât <math>BM = CN</math>. Fie punctul <math>P</math> astfel încât <math>NM = MP</math>, punctele <math>N</math> și <math>P</math> sunt de aceeași parte a dreptei <math>BC</math>, iar distanţa de la punctul <math>P</math> la dreapta <math>BC</math> este aceeași cu distanţa de la punctul <math>M</math> la dreapta <math>AC</math>. Arătaţi că <math>\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA</math>.''
+'''Soluție.'''
+[[File:16898.png|center|thumb]]
-'''Soluție'''
 Din <math>\begin{cases}
 	PM = MN \\ PP_1 = MM_1 \\ \sphericalangle P_1 = \sphericalangle M_1 = 90^\circ
-\end{cases}<\math>, conform cazului de congruenţă C.I., rezultă <math>\Delta PP_1M \equiv \Delta MM_1N</math>, deci <math>\sphericalangle PMB = \sphericalangle MNC</math>.
+\end{cases}</math>, conform cazului de congruenţă C.I., rezultă <math>\Delta PP_1M \equiv \Delta MM_1N</math>, deci <math>\sphericalangle PMB = \sphericalangle MNC</math>.
 Din <math>\begin{cases}
@@ Line 13: / Line 15: @@
 \end{cases}</math>, conform cazului de congruenţă L.U.L., rezultă <math>\Delta PMB \equiv \Delta MNC</math>, deci <math>\sphericalangle PBC = \sphericalangle MCN</math>.
-Cum punctele <math>B</math>, <math>M</math> și <math>C</math>  sunt colinare, avem
+Cum punctele <math>B</math>, <math>M</math> și <math>C</math>  sunt colinare, avem <math display="block" id="e16899-1" qid="e16899-1">\sphericalangle BMP + \sphericalangle PMN + \sphericalangle NMC = 180^\circ.
-<math>\sphericalangle BMP + \sphericalangle PMN + \sphericalangle NMC = 180^\circ.
+</math>
-</math>  în triunghiul <math>\Delta CMN</math> avem <math>\sphericalangle CNM + \sphericalangle NMC + \sphericalangle MCN = 180^\circ.
-</math> Din \eqref{ang1} și \eqref{ang2} și <math>\sphericalangle PMB = \sphericalangle MNC</math> se deduce <math>\sphericalangle PMN = \sphericalangle MCN</math>.
+În triunghiul <math>\Delta CMN</math> avem <math display="block" id="e16899-2" qid="e16899-2">\sphericalangle CNM + \sphericalangle NMC + \sphericalangle MCN = 180^\circ.
+</math>
+Din cele două egalități și <math>\sphericalangle PMB = \sphericalangle MNC</math> se deduce <math>\sphericalangle PMN = \sphericalangle MCN</math>.
-în concluzie, <math>\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA</math>.
+În concluzie, are loc egalitatea <math display="block">\sphericalangle NMP = \sphericalangle PBM = \sphericalangle MCA.</math>