E:15414

E:15414 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Aflați numerele prime $a,b,c,d$ pentru care $29a^{5}+39b^{2}+38c+20d=2019$.

Soluție

Din $29a^{5}\leq 2019$ deducem că $a^{5}\leq 69$ și deci $a=2$.

Relația devine $39b^{2}+38c+20d=1091,\quad (1).$

Din $39b^{2}\leq 1091$ deducem că $b^{2}\leq 27$.

Dacă $b=2$, relația $(1)$ este imposibilă deoarece membrul stâng este par, iar membrul drept este impar.

Dacă $b=3$, relația $(1)$ devine:

$38c+20d=740,\quad {\text{sau}}\quad 19c+10d=370.\quad (2).$

Cum $10d$ și $370$ sunt numere pare, rezultă că $19c$ este număr par. Deci $c=2$.

Înlocuind în $(2)$, nu obținem valoarea pentru $d$ un număr natural.

Dacă $b=5$, relația $(1)$ devine:

$38c+20d=116,\quad {\text{sau}}\quad 19c+10d=58.\quad (3).$

Cum $10d$ și $58$ sunt numere pare, rezultă că $19c$ este număr par și atunci $c=2$. Înlocuind în $(3)$, obținem $d=2$.

Dacă $b\geq 7$, atunci $b^{2}>27$, ceea ce nu convine.

În concluzie, s-a obținut soluția $a=c=d=2$ și $b=5$.