E:26460: Difference between revisions

Latest revision as of 12:42, 19 January 2025

26460 (Nicolae Mușuroia)

Să se arate că dacă $a,b,c$ sunt numere reale strict pozitive cu $a+b+c=abc$ , atunci $(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq 64$ .

Soluție.

Relația $a+b+c=abc$ se scrie ${\frac {1}{bc}}+{\frac {1}{ca}}+{\frac {1}{ab}}=1$ . Avem

1+a^{2}=a^{2}\left(1+{\frac {1}{a^{2}}}\right)=a^{2}\left({\frac {1}{bc}}+{\frac {1}{ca}}+{\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{a^{2}}}\right)=

=a^{2}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right)\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}\right)={\frac {(a+b)(a+c)}{bc}}\geq {\frac {4a}{\sqrt {bc}}}.

Deci

(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})\geq {\frac {4a}{\sqrt {bc}}}\cdot {\frac {4b}{\sqrt {ac}}}\cdot {\frac {4c}{\sqrt {ab}}}=64.

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''Problema 26460 (Nicolae Mușuroia, Baia Mare)'''
+'''26460 (Nicolae Mușuroia)'''
-''Să se arate că dacă a, b, c sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''
+''Să se arate că dacă <math>a, b, c</math> sunt numere reale strict pozitive cu <math>a + b + c = abc</math>, atunci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq 64</math>.''
 '''Soluție.'''
-Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem:
+Relația <math>a + b + c = abc</math> se scrie <math>\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} = 1</math>. Avem<math display="block">
-<math>
 + a^2 = a^2 \left( 1 + \frac{1}{a^2} \right) = a^2 \left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2} \right) =
-</math>
+</math><math display="block">
-<math>
+= a^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \right) = \frac{(a + b)(a + c)}{bc} \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}}.
-= a^2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{(a + b)(a + c)}{\sqrt{bc}} \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}}.
+</math>Deci <math display="block">(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{4b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{4c}{\sqrt{ab}} = 64.</math>
-</math>
-Deci <math>(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) \geq \frac{4a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{4b}{\sqrt{ac}} \cdot \frac{4c}{\sqrt{ab}} = 64</math>.