E:14312: Difference between revisions

Latest revision as of 08:02, 16 January 2025

E:14312 (Iulian Bunu)

Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei?

Soluție (Ana Iulia Ciupală, Lic. Teoretic "Johannes Honterus", Brașov):

Fie $a$ suma pe care o are Andrei.

Atunci $a+50=y^{3}$ de unde rezultă $a=y^{3}-50$ și $a-50=y^{2},$ ceea ce implică

a=y^{2}+50.

Egalăm cele două expresii, deci

y^{3}-50=y^{2}+50

sau, în mod echivalent,

y^{3}-y^{2}=100

, deci

y^{2}(y-1)=100.

Rezolvăm această ecuație pentru

y

natural:

Dacă $y=1$ , atunci $1^{2}\cdot \left(1-1\right)=0\neq 100$ .
Dacă $y=2$ , atunci $2^{2}\cdot (2-1)=4\neq 100.$ .
Dacă $y=5$ , atunci $5^{2}\cdot (5-1)=100$ . Acest caz este valid.

Așadar, suma lui Andrei este

a=y^{2}+50=5^{2}+50=75.

Răspuns final: Suma lui Andrei este 75 lei.

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''[[E:14312]] (Iulian Bunu, Baia Mare)'''
+'''[[E:14312]] (Iulian Bunu)'''
 ''Andrei are o anumită sumă de bani și se pregătește pentru două evenimente: Tabăra de Matematică și aniversarea Anei. Dacă ar câștiga premiul de 50 de lei și n-ar putea merge la aniversare, noua sumă ar fi cubul unui număr natural, iar dacă n-ar câștiga nimic, dar ar cheltui pentru cadou 50 de lei, noua sumă ar fi pătratul aceluiași număr natural. Ce sumă are Andrei? ''
@@ Line 5: / Line 5: @@
 '''Soluție (Ana Iulia Ciupală, Lic. Teoretic "Johannes Honterus", Brașov):'''
-''<p>Fie <i>a</i> suma pe care o are Andrei. Atunci:</p> <div class="equations"> <p><i>a + 50 = y<sup>3</sup></i> și <i>a - 50 = y<sup>2</sup>,</i></p> <p>de unde rezultă:</p> <p><i>a = y<sup>3</sup> - 50</i> și <i>a = y<sup>2</sup> + 50.</i></p> </div> <p>Egalăm cele două expresii:</p> <div class="equations"> <p><i>y<sup>3</sup> - 50 = y<sup>2</sup> + 50</i> <i>⇒</i> <i>y<sup>3</sup> - y<sup>2</sup> = 100.</i></p> </div> <p>Scoatem factor comun:</p> <div class="equations"> <p><i>y<sup>2</sup> (y - 1) = 100.</i></p> </div> <p>Rezolvăm această ecuație pentru <i>y</i> natural:</p> <ul> <li>Dacă <i>y = 1</i>, atunci <i>1<sup>2</sup> * (1 - 1) = 0 ≠ 100</i>.</li> <li>Dacă <i>y = 2</i>, atunci <i>2<sup>2</sup> * (2 - 1) = 4 ≠ 100</i>.</li> <li>Dacă <i>y = 5</i>, atunci <i>5<sup>2</sup> * (5 - 1) = 100</i>. Acest caz este valid.</li> </ul> <p>Așadar, suma lui Andrei este:</p> <div class="equations"> <p><i>a = y<sup>2</sup> + 50 = 5<sup>2</sup> + 50 = 75.</i></p> </div>''
+Fie <math>a</math> suma pe care o are Andrei.
-''' Răspuns final: ''' ''Suma lui Andrei este 75 lei.''
+Atunci <math>a + 50 = y^3</math> de unde rezultă <math>a = y^3 - 50</math> și <math>a - 50 = y^2,</math> ceea ce implică<math display="block">a = y^2 + 50.</math>Egalăm cele două expresii, deci <math>y^3 - 50 = y^2 + 50</math> sau, în mod echivalent, <math>y^3 - y^2 = 100</math>, deci
+<math display="block">y^2 (y - 1) = 100.</math>Rezolvăm această ecuație pentru <math>y</math> natural: <ul>  <li>Dacă <math>y = 1</math>, atunci <math>1^2 \cdot \left(1-1\right) = 0 \ne 100</math>.</li> <li>Dacă <math>y = 2</math>, atunci <math>2^2 \cdot (2 - 1) = 4 \ne 100.</math>.</li> <li>Dacă <math>y = 5</math>, atunci <math>5^2 \cdot (5 - 1) = 100</math>. Acest caz este valid.</li> </ul> <p>Așadar, suma lui Andrei este<math display="block">a = y^2 + 50 = 5^2 + 50 = 75.</math>''' Răspuns final: ''' ''Suma lui Andrei este 75 lei.''</p>