15348

E:15348 (Gheorghe Boroica, Baia Mare)

Determinați valorile naturale ale numărului $a$ pentru care există $x,y\in \mathbb {N} ^{*}$ astfel încât $x^{3}+2y^{3}=a\cdot (2x^{2}y+xy^{2})$.

Soluție.

Fie $d=(x,y)$. Atunci $x=dp$ și $y=dq$, unde $p$ și $q$ sunt numere naturale prime între ele. Cu aceasta relația dată devine $p^{3}+2q^{3}=a(2p^{2}q+pq^{2})$ sau $p^{3}=aq(2p^{2}+pq)-2q^{3}$, $(1)$, de unde rezultă $q\mid p^{3}$.

Cum $(p,q)=1$, obținem $q=1$. Relația $(1)$ devine $p^{3}=a(2p^{2}+p)-2$, $(2)$. Din $(2)$ deducem că $p\mid 2$, adică $p=1$ sau $p=2$.

Înlocuind în $(2)$ $p=1$ sau $p=2$ obținem, de fiecare dată, $a=1$.